Условие задачи
Сторона правильного треугольника равна √3. Найдите радиус окружности, вписанной в этот треугольник
Решение
Дисциплина: Геометрия.
Рассмотрим правильный (равносторонний) треугольник со стороной a = √3.
В равностороннем треугольнике радиус вписанной окружности можно найти по формуле
r = (a √3) / 6.
Подставляем a = √3:
r = (√3 · √3) / 6 = 3 / 6 = 1⁄2.
Таким образом, радиус вписанной окружности равен 1⁄2.
Альтернативное решение:
1. Найдём высоту треугольника: h = (√3/2) · a = (√3/2)·√3 = 3/2.
2. Площадь треугольника: A = (1/2)·a·h = (1/2)·√3·(3/2) = (3√3) / 4.
3. Периметр равен P = 3√3.
4. Формула для радиуса вписанной окружности через площадь: r = (2A) / P, тогда
r = (2 · (3√3/4)) / (3√3) = ((3√3)/2) / (3√3) = 1⁄2.
Ответ остаётся тем же – 1⁄2.