Условие задачи
Построить график функции: 1) у = 2 1/2х; 2) у = 1/4 х; 3) у =0,6 х.
Решение
Дисциплина задачи – аналитическая геометрия (исследование линейных функций и построение их графиков в декартовой системе координат).
Для каждой функции задан вид у = m·х, где m – угловой коэффициент (наклон прямой). При отсутствии свободного члена все прямые проходят через начало координат.
Ниже приведём подробное решение для каждой функции.
─────────────────────────────
1) Функция: у = 2 1⁄2х
Интерпретируем запись «2 1⁄2х» как умножение х на число 2 1⁄2, то есть,
у = (2 + ½)·х = (5⁄2)·х.
Угловой коэффициент: m = 5⁄2 = 2,5. Это означает, что при увеличении х на 2 единицы, у возрастает на 5 единиц.
Чтобы построить график, выбираем две точки:
• При х = 2:
у = (5⁄2)·2 = 5.
Получаем точку (2; 5).
• При х = 4:
у = (5⁄2)·4 = 10.
Получаем точку (4; 10).
Построив точки (0; 0), (2; 5) и (4; 10) на координатной плоскости и проведя через них прямую, получаем график данной функции.
─────────────────────────────
2) Функция: у = 1⁄4х
Здесь угловой коэффициент m = 1⁄4 = 0,25. Это означает, что при увеличении х на 4 единицы, у возрастает на 1 единицу.
Выберем две точки:
• При х = 4:
у = (1⁄4)·4 = 1.
Получаем точку (4; 1).
• При х = 8:
у = (1⁄4)·8 = 2.
Получаем точку (8; 2).
Также не забудем точку (0; 0). Построив (0; 0), (4; 1) и (8; 2), проведём через них прямую линию – это и будет график функции у = 1⁄4х.
─────────────────────────────
3) Функция: у = 0,6х
Запишем угловой коэффициент в виде несократимой дроби. Число 0,6 можно представить как 6⁄10 = 3⁄5, то есть m = 3⁄5 = 0,6.
Выберем пару точек:
• При х = 5:
у = (3⁄5)·5 = 3.
Получаем точку (5; 3).
• При х = 10:
у = (3⁄5)·10 = 6.
Получаем точку (10; 6).
Вновь добавляем (0; 0). Построив (0; 0), (5; 3) и (10; 6) на координатной плоскости, проводим прямую через эти точки, что и будет график функции.
─────────────────────────────
Общие комментарии к построению графиков:
1. Все функции имеют вид у = m·х и проходят через точку (0; 0).
2. График каждой функции – прямая линия.
3. Для удобства построения выбирали х с такими значениями, чтобы вычисленные у были целыми или удобными дробями.
При построении графиков на координатной плоскости можно использовать разные цвета или обозначения для различения функций. Например, можно выбрать:
– красный цвет для у = (5⁄2)·х,
– синий для у = (1⁄4)·х,
– зелёный для у = (3⁄5)·х.
Графически видно, что при увеличении углового коэффициента прямая становится более «крутой». Таким образом, у = (5⁄2)·х имеет самый крутой наклон, у = (3⁄5)·х – средний, а у = (1⁄4)·х – самый пологий.
─────────────────────────────
Вывод:
Построим на одной координатной плоскости следующие прямые:
• Прямая у = (5⁄2)·х, проходящая через (0; 0), (2; 5) и (4; 10);
• Прямая у = (1⁄4)·х, проходящая через (0; 0), (4; 1) и (8; 2);
• Прямая у = (3⁄5)·х, проходящая через (0; 0), (5; 3) и (10; 6).
Таким образом, задача построения графиков функций решается с помощью нахождения угловых коэффициентов и подбором удобных точек, через которые проводится прямая.