Условие задачи
Постройте параболу: а) у = (х — 1)2 + 1; б) у = -(x+ 1)2 + 2; в) у = -2(х — 2)2 + 2; г) у = 2(х + 1)2 — 1.
Решение
Ниже приведено подробное решение задачи по аналитической геометрии (исследование и построение графиков квадратичных функций в каноническом виде). В каждой части функция записана в виде
y = a·(x – h)² + k,
где (h, k) – координаты вершины, а a определяет направление ветвей (a > 0 – ветви направлены вверх, a < 0 – вниз) и степень «сжатия» или «растяжения». ───────────────────────────── а) Дана функция: y = (x – 1)² + 1 1. Вершина параболы: h = 1, k = 1, то есть вершина находится в точке (1, 1). 2. Коэффициент a = 1 > 0, следовательно, ветви направлены вверх.
3. Оси симметрии: прямая x = 1.
4. y-пересечение: подставляем x = 0
y = (0 – 1)² + 1 = 1 + 1 = 2,
точка (0, 2).
5. x-пересечения: решаем уравнение (x – 1)² + 1 = 0
(x – 1)² = –1.
Так как квадрат любого действительного числа неотрицателен, действительных корней нет.
Таким образом, парабола имеет минимум в точке (1, 1), пересекает ось y в точке (0, 2) и не имеет пересечений с осью x.
─────────────────────────────
б) Дана функция:
y = –(x + 1)² + 2
1. Приводим (x + 1)² к виду (x – (–1))², то есть:
h = –1, k = 2;
вершина: (–1, 2).
2. Коэффициент a = –1 < 0, следовательно, ветви направлены вниз. 3. Оси симметрии: прямая x = –1. 4. y-пересечение: подставляем x = 0 y = –(0 + 1)² + 2 = –1 + 2 = 1, точка (0, 1). 5. x-пересечения: решаем –(x + 1)² + 2 = 0 –(x + 1)² = –2 (x + 1)² = 2 x + 1 = ±√2 Отсюда x = –1 ± √2. Получаем две точки: (–1 – √2, 0) и (–1 + √2, 0). Построенная парабола имеет вершину (–1, 2), пересекает ось y в точке (0, 1) и ось x в точках (–1 – √2, 0) и (–1 + √2, 0). ───────────────────────────── в) Дана функция: y = –2(x – 2)² + 2 1. Вершина: h = 2, k = 2, то есть вершина находится в точке (2, 2). 2. Коэффициент a = –2 < 0 – парабола открыта вниз и растянута по вертикали (сжатие относительно стандартной параболы stronger). 3. Ось симметрии: прямая x = 2. 4. y-пересечение: подставляем x = 0 y = –2(0 – 2)² + 2 = –2·4 + 2 = –8 + 2 = –6, точка (0, –6). 5. x-пересечения: решаем –2(x – 2)² + 2 = 0 –2(x – 2)² = –2 (x – 2)² = 1 x – 2 = ±1 Получаем x = 2 ± 1, то есть x = 1 и x = 3. Соответственно, точки (1, 0) и (3, 0). Таким образом, парабола имеет вершину (2, 2), пересечение с осью y в точке (0, –6) и пересекает ось x в точках (1, 0) и (3, 0). ───────────────────────────── г) Дана функция: y = 2(x + 1)² – 1 1. Приводим (x + 1)² к виду (x – (–1))², то есть: h = –1, k = –1; вершина: (–1, –1). 2. Коэффициент a = 2 > 0 – парабола открыта вверх и «растянута» по вертикали.
3. Ось симметрии: прямая x = –1.
4. y-пересечение: подставляем x = 0
y = 2(0 + 1)² – 1 = 2·1 – 1 = 2 – 1 = 1,
точка (0, 1).
5. x-пересечения: решаем 2(x + 1)² – 1 = 0
2(x + 1)² = 1
(x + 1)² = ½
x + 1 = ±√(½) = ±(√2 ⁄ 2)
Отсюда x = –1 ± (√2 ⁄ 2).
Две точки:
(–1 – (√2 ⁄ 2), 0) и (–1 + (√2 ⁄ 2), 0).
Таким образом, парабола имеет вершину (–1, –1), пересечение с осью y в точке (0, 1) и пересекает ось x в точках (–1 – (√2 ⁄ 2), 0) и (–1 + (√2 ⁄ 2), 0).
─────────────────────────────
Общий вывод: каждая функция представлена в каноническом виде, что позволяет легко определить её основные характеристики – координаты вершины, направление ветвей, ось симметрии и точки пересечения с осями координат. Для построения парабол на координатной плоскости достаточно отметить вершину, построить ось симметрии и отложить еще несколько точек (например, y-пересечение и точки, симметричные относительно оси), после чего провести плавную кривую.
Это и есть подробное решение задачи по аналитической геометрии.