Условие задачи
Четырёхугольник ABCD вписан в окружность. Угол ABC равен 70°, угол CAD равен 49°. Найдите угол ABD. Ответ дайте в градусах
Решение
Нам дана задача по планиметрии (геометрия окружности). Рассмотрим правильное решение с подробными объяснениями.
Пусть четырёхугольник A, B, C, D вписан в окружность, а его вершины упорядочены по окружности. Из условия имеем:
• ∠ABC = 70°.
• ∠CAD = 49°.
Мы воспользуемся теоремой об угле, вписанном в окружность: величина вписанного угла равна половине величины дуги, которую он запрокидывает. Главное – правильно определить, какая дуга соответствует каждому углу.
1. Рассмотрим угол ∠ABC с вершиной в B, образованный хордами BA и BC. Его intercepted дуга – дуга AC, которая не содержит точку B. При этом, по теореме,
∠ABC = 1⁄2 (мера дуги ADC).
Заметим, что если на окружности идут вершины A, B, C, D по порядку, то дуга AC, не проходящая через B, проходит через точки D и C. Тогда имеем:
мера дуги ADC = 2 × 70° = 140°.
2. Теперь рассмотрим угол ∠CAD с вершиной в A, образованный хордами CA и DA. Его intercepted дуга – дуга CD (то есть дуга между точками C и D, не содержащая A). По теореме,
∠CAD = 1⁄2 (мера дуги CD).
Отсюда:
мера дуги CD = 2 × 49° = 98°.
3. Заметим, что дуга ADC, найденная на шаге (1), состоит из двух смежных дуг: дуги AD и дуги DC. То есть:
мера дуги ADC = мера дуги AD + мера дуги DC.
Подставляя найденные значения, получаем:
140° = мера дуги AD + 98°,
откуда мера дуги AD = 140° − 98° = 42°.
4. Теперь нужно найти ∠ABD. Этот угол находится в вершине B и образован хордами BA и BD. Его intercepted дуга – дуга AD (то есть дуга между точками A и D, не содержащая B). По теореме:
∠ABD = 1⁄2 (мера дуги AD) = 1⁄2 × 42° = 21°.
Ответ: 21°.
Таким образом, по правилам планиметрии мы получили, что ∠ABD равен 21°.