Условие задачи
Площадь параллелограмма ABCD равна 189. Точка E — середина стороны AD. Найдите площадь трапеции AECB
Решение
Наша задача относится к разделу планиметрии (геометрии плоских фигур). Мы имеем параллелограмм ABCD с площадью Sₚ = 189. Точка E – середина стороны AD. Требуется найти площадь трапеции AECB.
Рассмотрим параллелограмм с координатной моделью, выбрав удобные координаты. Пусть
A = (0, 0),
B = (b, 0),
D = (0, h),
и тогда C = B + (0, h) = (b, h).
Площадь параллелограмма равна произведению основания на высоту, то есть b × h = 189.
Поскольку E – середина отрезка AD, координаты точки E равны
E = (0, h/2).
Трапеция AECB имеет вершины в порядке: A (0, 0), E (0, h/2), C (b, h), B (b, 0).
Найдем стороны, которые являются основаниями трапеции. Заметим, что отрезок AE лежит на прямой x = 0, а отрезок BC – на прямой x = b. Таким образом, AE ∥ BC, и они будут основаниями трапеции. Длина основания AE равна расстоянию между A и E:
AE = h/2.
Длина основания BC равна расстоянию между B и C:
BC = h.
Расстояние между прямыми x = 0 и x = b (то есть «высота» трапеции) равно b.
По формуле площади трапеции получаем
Sₜ = (1/2) × (AE + BC) × (b)
= (1/2) × (h/2 + h) × b
= (1/2) × ((3h)/2) × b
= (3/4) × (b × h).
Так как b × h = 189, то
Sₜ = (3/4) × 189 = (3 × 189)/4 = 567/4.
Таким образом, площадь трапеции AECB равна 567/4.