Условие задачи
Запишите периодическую дробь в виде обыкновенной дроби:
а) 1,(8); б) 0,(3); в) 0,(7); г) 3,(5);
д) 0,1(2); е) 1,12(3); ж) 7,5{4); з) 0,(35);
и) 0,(59); к) 0,(12); л) 1,0(12); м) 8,7(21).
Решение
Ниже приведено подробное решение задачи по элементарной арифметике (перевод периодических десятичных дробей в обыкновенные):
─────────────────────────────
Общий метод.
Пусть дано число x с периодической записью, где после запятой сначала идут n неизменных (непериодических) цифр, а затем m цифр, повторяющихся бесконечно. Тогда умножим x на 10^(n+m) и на 10^n. Получим:
10^(n+m)·x = A, 10^n·x = B.
Вычитая B из A, устраняется периодическая часть, и получаем:
(10^(n+m) − 10^n)·x = A − B.
Отсюда:
x = (A − B) / (10^(n+m) − 10^n).
Для чисто периодических дробей (n = 0) получаем x = (цифры периода) / (число, состоящее из m девяток).
─────────────────────────────
Рассмотрим пункты по порядку.
а) 1,(8)
Запись означает: x = 1,8888…
Выделим целую часть 1 и дробную часть 0,8888…
0,8888… = 8/9 (так как 0,(8) = 8/9).
Тогда x = 1 + 8/9 = (9 + 8)/9 = 17/9.
─────────────────────────────
б) 0,(3)
x = 0,3333… = 3/9 = 1/3.
─────────────────────────────
в) 0,(7)
x = 0,7777… = 7/9.
─────────────────────────────
г) 3,(5)
x = 3,5555… = 3 + 0,5555…
0,(5) = 5/9, тогда x = 3 + 5/9 = (27 + 5)/9 = 32/9.
─────────────────────────────
д) 0,1(2)
Запись означает: x = 0,12222…
Здесь одна непериодическая цифра (1) и одна повторяющаяся (2): n = 1, m = 1.
Умножим x на 10^(1+1) = 100 и на 10^1 = 10:
100x = 12,2222…
10x = 1,2222…
Вычтем: 100x − 10x = (12,2222… − 1,2222…) = 11.
Получаем: 90x = 11, откуда x = 11/90.
─────────────────────────────
е) 1,12(3)
x = 1,123333…
После запятой две непериодические цифры (12) и одна повторяющаяся (3): n = 2, m = 1.
Умножим на 10^(2+1) = 1000 и на 10^2 = 100:
1000x = 1123,3333…
100x = 112,3333…
Вычтем: 1000x − 100x = 1123,3333… − 112,3333… = 1011.
Имеем: 900x = 1011, значит x = 1011/900.
Сократим: поделим числитель и знаменатель на 3:
1011 ÷ 3 = 337, 900 ÷ 3 = 300.
Ответ: x = 337/300.
─────────────────────────────
ж) 7,5{4)
Запись, предположим, означает: x = 7,54444… (то есть одно число после запятой – 5 – не периодическое, затем 4 повторяется бесконечно).
Таким образом, n = 1 (неповторящаяся цифра 5) и m = 1 (периодическая цифра 4).
Умножим x на 10^(1+1) = 100 и на 10^1 = 10:
100x = 754,4444…
10x = 75,4444…
Вычтем: 100x − 10x = 754,4444… − 75,4444… = 679.
Получаем: 90x = 679, откуда x = 679/90.
─────────────────────────────
з) 0,(35)
x = 0,353535…
Период состоит из двух цифр, поэтому:
x = 35/99.
─────────────────────────────
и) 0,(59)
x = 0,595959…
Период из двух цифр: x = 59/99.
─────────────────────────────
к) 0,(12)
x = 0,121212…
Запишем: x = 12/99.
Сократим: 12 и 99 делятся на 3:
12 ÷ 3 = 4, 99 ÷ 3 = 33.
Ответ: x = 4/33.
─────────────────────────────
л) 1,0(12)
x = 1,0121212…
Здесь после запятой сначала идет одна непериодическая цифра 0 (n = 1), затем период из двух цифр «12» (m = 2).
Умножим на 10^(1+2) = 1000 и на 10^1 = 10:
1000x = 1012,121212…
10x = 10,121212…
Вычтем: 1000x − 10x = 1012,121212… − 10,121212… = 1002.
Получаем: 990x = 1002, значит x = 1002/990.
Сократим, разделив на 6:
1002 ÷ 6 = 167, 990 ÷ 6 = 165.
Ответ: x = 167/165.
─────────────────────────────
м) 8,7(21)
x = 8,7212121…
После запятой одна непериодическая цифра (7, n = 1) и период из двух цифр «21» (m = 2).
Умножим на 10^(1+2) = 1000 и на 10^1 = 10:
1000x = 8721,212121…
10x = 87,212121…
Вычтем: 1000x − 10x = 8721,212121… − 87,212121… = 8634.
Получаем: 990x = 8634, откуда x = 8634/990.
Сократим, разделив на 6:
8634 ÷ 6 = 1439, 990 ÷ 6 = 165.
Ответ: x = 1439/165.
─────────────────────────────
Итоговые ответы:
а) 1,(8) = 17/9
б) 0,(3) = 1/3
в) 0,(7) = 7/9
г) 3,(5) = 32/9
д) 0,1(2) = 11/90
е) 1,12(3) = 337/300
ж) 7,5(4) = 679/90
з) 0,(35) = 35/99
и) 0,(59) = 59/99
к) 0,(12) = 4/33
л) 1,0(12) = 167/165
м) 8,7(21) = 1439/165
Таким образом, каждая периодическая дробь представлена в виде несократимой обыкновенной дроби.