Условие задачи
Найдите наименьшее общее кратное чисел:
а) 6 и 8; в) 72 и 99; д) 34, 51 и 68;
б) 12 и 16; г) 396 и 180; е) 168, 231 и 60.
Решение
Ниже представлено подробное решение задачи по нахождению наименьшего общего кратного (НОК) с использованием метода разложения на простые множители.
Общая идея такова: для каждого искомого НОК чисел разлагаем всё число на простые множители, затем для каждого простого числа берём максимальную степень, с которой оно встречается в разложениях, и перемножаем полученные множества множителей.
─────────────────────────────
1. Найдите НОК для 6 и 8.
• Разложим 6 и 8 на простые множители:
6 = 2 × 3
8 = 2³
• Берём для каждого простого множителя максимальную степень:
Для 2: максимум 2³
Для 3: имеется только 3¹
• Тогда НОК = 2³ × 3 = 8 × 3 = 24.
─────────────────────────────
2. Найдите НОК для 12 и 16.
• Разложим 12 и 16:
12 = 2² × 3
16 = 2⁴
• Максимальные степени:
Для 2: 2⁴
Для 3: 3¹
• НОК = 2⁴ × 3 = 16 × 3 = 48.
─────────────────────────────
3. Найдите НОК для 72 и 99.
• Разложим 72 и 99:
72 = 2³ × 3² (так как 8 × 9 = 2³ × 3²)
99 = 3² × 11
• Максимальные степени:
Для 2: 2³ (только в 72)
Для 3: 3² (в обеих)
Для 11: 11¹ (только в 99)
• НОК = 2³ × 3² × 11 = 8 × 9 × 11 = 792.
─────────────────────────────
4. Найдите НОК для 396 и 180.
• Разложим 396:
396 ÷ 2 = 198, 198 ÷ 2 = 99
99 = 3² × 11
Таким образом, 396 = 2² × 3² × 11.
• Разложим 180:
180 = 2² × 90 = 2² × 2 × 45, но лучше так:
180 = 2² × 45, а 45 = 3² × 5
Таким образом, 180 = 2² × 3² × 5.
• Максимальные степени:
Для 2: 2²
Для 3: 3²
Для 11: 11¹
Для 5: 5¹
• НОК = 2² × 3² × 5 × 11 = 4 × 9 × 5 × 11.
Вычисляем: 4 × 9 = 36, 36 × 5 = 180, 180 × 11 = 1980.
─────────────────────────────
5. Найдите НОК для 34, 51 и 68.
• Разложим 34, 51 и 68:
34 = 2 × 17
51 = 3 × 17
68 = 2² × 17
• Максимальные степени:
Для 2: 2² (так как в 68)
Для 3: 3¹ (только в 51)
Для 17: 17¹ (общий множитель во всех)
• НОК = 2² × 3 × 17 = 4 × 3 × 17 = 204.
─────────────────────────────
6. Найдите НОК для 168, 231 и 60.
• Разложим 168, 231 и 60:
168 = 2³ × 3 × 7 (так как 8 × 21, а 21 = 3 × 7)
231 = 3 × 7 × 11 (231 ÷ 7 = 33, а 33 = 3 × 11)
60 = 2² × 3 × 5
• Максимальные степени:
Для 2: 2³ (в 168)
Для 3: 3¹
Для 7: 7¹
Для 11: 11¹
Для 5: 5¹
• НОК = 2³ × 3 × 5 × 7 × 11.
Вычисляем последовательно:
2³ = 8, 8 × 3 = 24, 24 × 5 = 120, 120 × 7 = 840, 840 × 11 = 9240.
─────────────────────────────
Ответ:
а) НОК(6, 8) = 24
б) НОК(12, 16) = 48
в) НОК(72, 99) = 792
г) НОК(396, 180) = 1980
д) НОК(34, 51, 68) = 204
е) НОК(168, 231, 60) = 9240