Условие задачи
В выпуклом четырёхугольнике ABCD известно, что AB = BC, AD = CD, угол B = 69°, угол D = 125°. Найдите угол A
Решение
Нам дана выпуклая четырехугольник ABCD с равными сторонами AB = BC и AD = CD, а также известны две угловые меры: ∠B = 69° и ∠D = 125°. Решим задачу, применяя классические свойства из геометрии.
Шаг 1. Построение диагонали
Проведём диагональ AC. Тогда четырехугольник разбивается на два треугольника: ΔABC и ΔADC.
Шаг 2. Анализ треугольника ABC
В треугольнике ABC выполнено равенство AB = BC, значит он равнобедренный с основанием AC. Обозначим за x величины углов при вершинах A и C этого треугольника. Тогда по теореме о сумме углов в треугольнике имеем:
x + x + ∠B = 180°
2x + 69° = 180°
Вычисляем x:
2x = 180° − 69° = 111°
x = 111° ÷ 2 = 55,5°
Таким образом, в ΔABC углы при A и C равны 55,5°.
Шаг 3. Анализ треугольника ADC
В треугольнике ADC выполнено равенство AD = CD, поэтому ΔADC также равнобедренный с основанием AC. Обозначим за y величины углов при вершинах A и C треугольника ADC. Тогда:
y + y + ∠D = 180°
2y + 125° = 180°
Вычисляем y:
2y = 180° − 125° = 55°
y = 55° ÷ 2 = 27,5°
Таким образом, в ΔADC углы при A и C равны 27,5°.
Шаг 4. Нахождение угла A четырехугольника
Угол A четырехугольника ABCD состоит из двух прилежащих к диагонали AC углов: угол ∠CAB из треугольника ABC и угол ∠DAC из треугольника ADC. Следовательно,
∠A = 55,5° + 27,5° = 83°
Ответ: угол A равен 83°.