Условие задачи
В треугольнике ABC известно, что AC = BC, AB = 5, cos BAC = 7/25. Найдите высоту AH.
Решение
Ниже приведено подробное решение задачи по элементарной геометрии (треугольники).
Условие задачи:
В треугольнике ABC выполнено AC = BC, AB = 5, и известно, что cos(∠BAC) = 7⁄25. Найдите высоту AH из вершины A на сторону BC.
Найдем сначала сторону AC (она же равна BC). Обозначим s = AC = BC. Заметим, что угол ∠A находится между сторонами AB и AC, а сторона BC противолежащая углу A. Применим теорему косинусов в треугольнике ABC:
BC² = AB² + AC² – 2·AB·AC·cos(∠A).
Так как BC = AC = s, подставляем:
s² = 5² + s² – 2·5·s·(7⁄25).
Вычтем s² с обеих сторон:
0 = 25 – 10·s·(7⁄25).
Упростим правую часть:
10·s·(7⁄25) = (70·s)⁄25.
Таким образом,
25 = (70·s)⁄25 ⟹ 70·s = 25·25 = 625 ⟹ s = 625⁄70 = 125⁄14.
Таким образом, стороны AC и BC равны 125⁄14.
Чтобы найти высоту AH из вершины A на сторону BC, удобно ввести координаты. Расположим треугольник следующим образом:
• Пусть A = (0, 0).
• Пусть B = (5, 0) (так как AB = 5).
• Угол ∠A известен через его косинус: cos(∠A) = 7⁄25, откуда sin(∠A) = √(1 – (7⁄25)²) = 24⁄25.
Тогда точка C лежит на луче из A, образующем угол ∠A с осью Ox, и имеет координаты:
C = (AC·cos(∠A), AC·sin(∠A)) = ((125⁄14)·(7⁄25), (125⁄14)·(24⁄25)).
Упростим координаты:
x‑координата: (125·7)/(14·25) = 875⁄350 = 35⁄14 = 5⁄2,
y‑координата: (125·24)/(14·25) = 3000⁄350 = 120⁄14 = 60⁄7.
Таким образом, C = (5⁄2, 60⁄7).
Найдем уравнение прямой BC. Точки B и C имеют координаты B = (5, 0) и C = (5⁄2, 60⁄7). Вычислим наклон m:
m = (y(C) – y(B))⁄(x(C) – x(B)) = ((60⁄7 – 0)⁄(5⁄2 – 5)) = (60⁄7)⁄((5⁄2 – 10⁄2)) = (60⁄7)⁄(–5⁄2) = –(60×2)⁄(7×5) = –120⁄35 = –24⁄7.
Уравнение прямой BC через точку B (5, 0) в точечно-наклонной форме:
y = –(24⁄7)·(x – 5).
Перепишем уравнение в общем виде. Выпишем:
y = –(24⁄7)x + (24⁄7)·5 = –(24⁄7)x + 120⁄7.
Чтобы избавиться от дробей, домножим на 7:
24·x + 7·y – 120 = 0.
Теперь высота AH из A (0, 0) до прямой BC равна расстоянию от точки A до прямой 24·x + 7·y – 120 = 0. Формула расстояния от точки (x₀, y₀) до прямой Ax + By + C = 0:
d = |A·x₀ + B·y₀ + C|⁄√(A² + B²).
Подставляем:
d = |24·0 + 7·0 – 120|⁄√(24² + 7²) = 120⁄√(576 + 49) = 120⁄√625 = 120⁄25 = 24⁄5.
Ответ: высота AH равна 24⁄5.