Условие задачи
Записать в виде конечной или бесконечной периодической десятичной дроби: 1) 1/4; 2) 1/125; 3) 2/3; 4) 3/11; 5) – 3/5; 6) -3 1/7.
Решение
Ниже приведён подробный разбор задачи, относящейся к арифметике (рациональные числа, представление дробей в виде десятичных дробей).
Общая идея. Любую дробь a⁄b можно представить в виде десятичной дроби. Если после сокращения знаменателя b содержит в разложении по простым множителям только 2 и/или 5, то десятичное представление конечное; если есть иные множители, то оно представляется бесконечной периодической дробью.
Рассмотрим каждый пункт:
1) 1⁄4
Знаменатель 4 = 2×2, т. е. содержит только множитель 2. Значит, представление конечное.
Выполним деление 1 : 4 = 0,25.
Ответ: 0,25.
2) 1⁄125
Знаменатель 125 = 5×5×5, содержит только множитель 5. Значит, десятичное представление конечное.
Выполним деление 1 : 125 = 0,008.
Ответ: 0,008.
3) 2⁄3
Знаменатель 3 – простой делитель, отличный от 2 и 5. Следовательно, представление будет бесконечной периодической дробью.
Делим 2 на 3: получаем 0,666… где цифра 6 повторяется бесконечно.
Ответ можно записать как 0,(6), что означает периодическую часть 6.
4) 3⁄11
Знаменатель 11 – простой делитель, отличный от 2 и 5, поэтому дробь имеет бесконечное периодическое представление.
Выполним деление 3 на 11:
11 делится в 3 ноль раз, получаем 0, затем 3,0 → 30;
30 : 11 = 2 (2×11 = 22), остаток 30 − 22 = 8.
Опуская ноль к остатку получаем 80;
80 : 11 = 7 (7×11 = 77), остаток 80 − 77 = 3;
Заметим, что остаток снова равен 3, значит начался цикл.
Таким образом, получаем 0,27 27 27 …
Ответ: 0,(27), где периодическая часть «27».
5) –3⁄5
Знаменатель 5 является множителем 5, поэтому представление конечное.
Выполним деление 3 : 5 = 0,6, а знак минус сохраняется.
Ответ: –0,6.
6) –3 1⁄7
Сначала преобразуем смешанную дробь в неправильную:
–3 1⁄7 = –(3 + 1⁄7) = –(21⁄7 + 1⁄7) = –22⁄7.
Так как знаменатель 7 не разлагается только на 2 и 5, десятичное представление будет бесконечно периодическим.
Деление 22 на 7: известно, что 22⁄7 = 3,142857 142857 …
Период равен «142857». Так как число отрицательное, получаем:
Ответ: –3,(142857).
Подытожим ответы:
1) 1⁄4 = 0,25
2) 1⁄125 = 0,008
3) 2⁄3 = 0,(6)
4) 3⁄11 = 0,(27)
5) –3⁄5 = –0,6
6) –3 1⁄7 = –3,(142857)