Условие задачи
Записать в виде обыкновенной дроби бесконечную десятичную периодическую дробь: 1) 0,(6); 2) 0,(7); 3) 4,1(25); 4) 2,3(81).
Решение
Ниже представлено подробное решение задачи по математике (рациональные числа, представление периодических десятичных дробей в виде обыкновенных дробей).
Обозначим через x искомое число.
──────────────────────────────
1) Найти представление дроби 0,(6)
Обозначим
x = 0,6666…
Умножим обе части равенства на 10 (так как период состоит из одной цифры):
10x = 6,6666…
Вычтем исходное равенство:
10x – x = 6,6666… – 0,6666…
9x = 6
Отсюда:
x = 6⁄9 = 2⁄3
Ответ: 0,(6) = 2⁄3
──────────────────────────────
2) Найти представление дроби 0,(7)
Пусть
x = 0,7777…
Умножим на 10 (так как период – одна цифра):
10x = 7,7777…
Вычтем:
10x – x = 7,7777… – 0,7777…
9x = 7
Отсюда получаем:
x = 7⁄9
Ответ: 0,(7) = 7⁄9
──────────────────────────────
3) Найти представление дроби 4,1(25)
Запишем число в виде
x = 4,1252525…
Разобъём число на целую часть и дробную:
x = 4 + r, где r = 0,1252525…
В десятичной части r имеется одна цифра непериодической части («1») и далее период «25». Применим формулу для преобразования дробной части с непериодической и периодической частями:
r = (Число, составленное из непериодических и периодических цифр – число, составленное только из непериодических цифр) ⁄ [10^n · (10^m – 1)]
где n = 1 (количество непериодических цифр) и m = 2 (количество цифр периода).
Определим числитель:
Число из всех цифр после запятой = 125
Непериодическая часть = 1
Вычисляем разность: 125 – 1 = 124
Знаменатель:
10^1 · (10^2 – 1) = 10 · (100 – 1) = 10 · 99 = 990
Таким образом,
r = 124⁄990
Сократим дробь, разделив числитель и знаменатель на 2:
124⁄2 = 62, 990⁄2 = 495, то есть r = 62⁄495
Теперь возвращаемся к x:
x = 4 + 62⁄495 = (4 · 495 + 62)⁄495 = (1980 + 62)⁄495 = 2042⁄495
Ответ: 4,1(25) = 2042⁄495
──────────────────────────────
4) Найти представление дроби 2,3(81)
Запишем число в виде
x = 2,3818181…
Выделим целую и дробную части:
x = 2 + r, где r = 0,3818181…
В дробной части имеет место одна непериодическая цифра («3») и период из двух цифр («81»).
По аналогичной формуле
r = (Число, составленное из непериодических и периодических цифр – число, составленное только из непериодических цифр) ⁄ [10^n · (10^m – 1)]
при n = 1 и m = 2.
Вычисляем числитель:
Число из всех цифр после запятой = 381
Непериодическая часть = 3
Разность: 381 – 3 = 378
Знаменатель:
10^1 · (10^2 – 1) = 10 · 99 = 990
Таким образом,
r = 378⁄990
Сократим дробь. Найдём наибольший общий делитель. Заметим, что 378 и 990 делятся на 18:
378⁄18 = 21, 990⁄18 = 55, то есть r = 21⁄55
Теперь складываем с целой частью:
x = 2 + 21⁄55 = (2 · 55 + 21)⁄55 = (110 + 21)⁄55 = 131⁄55
Ответ: 2,3(81) = 131⁄55
──────────────────────────────
Ответы к задаче:
1) 0,(6) = 2⁄3
2) 0,(7) = 7⁄9
3) 4,1(25) = 2042⁄495
4) 2,3(81) = 131⁄55