Условие задачи

Найдите sina и tga, если cosa = — √3/2

Решение

Мы имеем условие: cos a = –√3⁄2. Зная, что функция косинуса принимает такое значение, необходимо найти sin a и tan a. Для начала воспользуемся фундаментальным тождеством тригонометрии:

  sin² a + cos² a = 1.

Подставим известное значение cos a:

  sin² a + (–√3⁄2)² = 1
  sin² a + ( (√3)²⁄2² ) = 1
  sin² a + (3⁄4) = 1.

Вычтем 3⁄4 с обеих сторон уравнения:

  sin² a = 1 – 3⁄4 = 1⁄4.

Извлечём корень из обеих частей:

  sin a = ±√(1⁄4) = ±1⁄2.

Так как cos a = –√3⁄2 (отрицательное значение), угол a находится либо во II квадранте (где sin a положительный), либо в III квадранте (где sin a отрицательный). Таким образом получаем две ситуации:

1. Если a находится во II квадранте (например, a = 150° или 5π⁄6):
  sin a = 1⁄2.
  Найдем tan a, используя определение тангенса:
  tan a = sin a⁄cos a = (1⁄2)⁄(–√3⁄2) = –1⁄√3.

2. Если a находится в III квадранте (например, a = 210° или 7π⁄6):
  sin a = –1⁄2.
  Тогда tan a = sin a⁄cos a = (–1⁄2)⁄(–√3⁄2) = 1⁄√3.

Таким образом, если cos a = –√3⁄2, то:

  – при условии, что a относится ко II квадранту, имеем: sin a = 1⁄2 и tan a = –1⁄√3;
  – при условии, что a относится к III квадранту, имеем: sin a = –1⁄2 и tan a = 1⁄√3.

Это и есть окончательное решение задачи.

Нужно решить другие задачи?

Решить задачу

Похожие задачи