Условие задачи
В трапеции ABCD, изображенной на рисунке, АВ = 12 см, AD =15 см, ВС = 7 см, ∠А= 30°. Найдите площадь S трапеции.
Решение
Наша задача относится к задачам элементарной евклидовой геометрии, а именно – к вычислению площади трапеции. Однако условие не содержит явного указания, какие стороны параллельны. Исходя из заданных длин сторон и угла, единственный вариант, в котором все условия согласуются, – это если основаниями трапеции будут стороны AD и BC, а боковыми – AB и CD. В таком варианте известно:
• AD и BC – основания, причем AD = 15 см и BC = 7 см;
• AB – один из боковых отрезков, AB = 12 см;
• угол A = 30° – угол между стороной AD (основанием) и боковой стороной AB.
Наша цель – найти площадь S трапеции. Для трапеции площадь определяется по формуле
S = ((b₁ + b₂) ⁄ 2) · h,
где b₁ и b₂ – основания, h – высота.
Чтобы найти высоту h, заметим, что угол A = 30° – это угол между AD и AB. Если принять основание AD за горизонтальное направление, то отрезок AB, длиной 12 см, располагается под углом 30° к горизонту. Вертикальная (то есть высотная) проекция отрезка AB равна
h = AB · sin 30°.
Из тригонометрии знаем, что sin 30° = ½, поэтому
h = 12 · ½ = 6 см.
Теперь подставляем известные величины в формулу площади, где b₁ = AD = 15 см, b₂ = BC = 7 см:
S = ((15 + 7) ⁄ 2) · 6 = (22 ⁄ 2) · 6 = 11 · 6 = 66 см².
Таким образом, площадь трапеции равна 66 см².