Условие задачи

Переведите числа в десятичную систему, а затем проверьте результаты, выполнив обратные переводы
а) 1011011 2;
б) 10110111 2;
в) 011100001 2;
г) 0,1000110 2;
д) 110100,11 2;

Решение

Ниже приведено подробное решение задачи по теме «Перевод чисел между системами счисления» с использованием правил для перевода из двоичной системы в десятичную и обратно. Обозначим, что запись a₂ означает число в системе с основанием 2, а десятичное число будем обозначать просто цифрами.

─────────────────────────────
а) Число 1011011₂

1. Перевод в десятичную систему.

Запишем разряды с указанием степеней двойки (разряды считаем справа налево, начиная с 2⁰):

  1∙2⁶ + 0∙2⁵ + 1∙2⁴ + 1∙2³ + 0∙2² + 1∙2¹ + 1∙2⁰

Вычисляем каждый слагаемый:
  1∙64 = 64
  0∙32 = 0
  1∙16 = 16
  1∙8  = 8
  0∙4  = 0
  1∙2  = 2
  1∙1  = 1

Суммируем:
  64 + 16 + 8 + 2 + 1 = 91

Таким образом, 1011011₂ = 91₁₀.

2. Проверка обратным переводом.

Преобразуем 91 из десятичной системы в двоичную (делениями на 2):

  91 ÷ 2 = 45, остаток 1
  45 ÷ 2 = 22, остаток 1
  22 ÷ 2 = 11, остаток 0
  11 ÷ 2 = 5, остаток 1
  5 ÷ 2 = 2, остаток 1
  2 ÷ 2 = 1, остаток 0
  1 ÷ 2 = 0, остаток 1

Переписывая остатки в обратном порядке, получаем:
  1 0 1 1 0 1 1

Это и есть исходное число 1011011₂.

─────────────────────────────
б) Число 10110111₂

1. Перевод в десятичную систему.

Разложим по степеням двойки (от 2⁷ до 2⁰):

  1∙2⁷ + 0∙2⁶ + 1∙2⁵ + 1∙2⁴ + 0∙2³ + 1∙2² + 1∙2¹ + 1∙2⁰

Вычисляем:
  1∙128 = 128
  0∙64  = 0
  1∙32  = 32
  1∙16  = 16
  0∙8 = 0
  1∙4 = 4
  1∙2 = 2
  1∙1 = 1

Сумма: 128 + 32 + 16 + 4 + 2 + 1 = 183

Таким образом, 10110111₂ = 183₁₀.

2. Проверка обратным переводом.

Переводим число 183 в двоичную систему:
  183 ÷ 2 = 91, остаток 1
  91 ÷ 2 = 45, остаток 1
  45 ÷ 2 = 22, остаток 1
  22 ÷ 2 = 11, остаток 0
  11 ÷ 2 = 5, остаток 1
  5 ÷ 2 = 2, остаток 1
  2 ÷ 2 = 1, остаток 0
  1 ÷ 2 = 0, остаток 1

Записывая остатки в обратном порядке: 1 0 1 1 0 1 1 1, то есть 10110111₂ – совпадает с исходным числом.

─────────────────────────────
в) Число 011100001₂

1. Перевод в десятичную систему.

Запишем разряды (цифры идут от 2⁸ до 2⁰; ведущий 0 не влияет):

  0∙2⁸ + 1∙2⁷ + 1∙2⁶ + 1∙2⁵ + 0∙2⁴ + 0∙2³ + 0∙2² + 0∙2¹ + 1∙2⁰

Вычисляем:
  0∙256 = 0
  1∙128 = 128
  1∙64 = 64
  1∙32 = 32
  0∙16 = 0
  0∙8 = 0
  0∙4 = 0
  0∙2 = 0
  1∙1 = 1

Сумма: 128 + 64 + 32 + 1 = 225

Таким образом, 011100001₂ = 225₁₀.

2. Проверка обратным переводом.

Переводим 225 в двоичную систему:
  225 ÷ 2 = 112, остаток 1
  112 ÷ 2 = 56, остаток 0
  56 ÷ 2 = 28, остаток 0
  28 ÷ 2 = 14, остаток 0
  14 ÷ 2 = 7, остаток 0
  7 ÷ 2 = 3, остаток 1
  3 ÷ 2 = 1, остаток 1
  1 ÷ 2 = 0, остаток 1

Остатки в обратном порядке: 1 1 1 0 0 0 0 1, то есть 11100001₂. Добавляя ведущий 0 для сохранения длины (как в исходном виде) получаем 011100001₂.

─────────────────────────────
г) Число 0,1000110₂ (дробная часть)

1. Перевод в десятичную систему.

Дробная часть записывается так: цифры после запятой соответствуют степеням 2⁻¹, 2⁻², и т.д.

Запишем:
  1∙2⁻¹ + 0∙2⁻² + 0∙2⁻³ + 0∙2⁻⁴ + 1∙2⁻⁵ + 1∙2⁻⁶ + 0∙2⁻⁷

Вычисляем:
  2⁻¹ = 1⁄2 = 0,5
  2⁻⁵ = 1⁄32 = 0,03125
  2⁻⁶ = 1⁄64 = 0,015625

Таким образом, сумма = 0,5 + 0,03125 + 0,015625 = 0,546875

Итак, 0,1000110₂ = 0,546875₁₀.

2. Проверка обратным переводом.

Преобразуем дробную часть 0,546875 в двоичное значение методом умножения на 2:

  а) 0,546875 × 2 = 1,09375 → целая часть 1, дробная 0,09375
  б) 0,09375 × 2 = 0,1875 → целая часть 0
  в) 0,1875 × 2 = 0,375 → целая часть 0
  г) 0,375 × 2 = 0,75 → целая часть 0
  д) 0,75 × 2 = 1,5 → целая часть 1, дробная 0,5
  е) 0,5 × 2 = 1,0 → целая часть 1, дробная 0

Полученные цифры: 1, 0, 0, 0, 1, 1. Таким образом, двоичная дробь равна .100011. Заметим, что исходное число записано как 0,1000110₂ – наличие завершающего нуля не меняeт значение, поэтому проверка подтверждена.

─────────────────────────────
д) Число 110100,11₂

1. Перевод в десятичную систему.

Разобьем число на целую и дробную части.

Целая часть: 110100₂

Запишем разряды (от 2⁵ до 2⁰):
  1∙2⁵ + 1∙2⁴ + 0∙2³ + 1∙2² + 0∙2¹ + 0∙2⁰
  = 1∙32 + 1∙16 + 0 + 1∙4 + 0 + 0 = 32 + 16 + 4 = 52

Дробная часть: ,11₂

Запишем:
  1∙2⁻¹ + 1∙2⁻² = 0,5 + 0,25 = 0,75

Общее число:
  52 + 0,75 = 52,75

Таким образом, 110100,11₂ = 52,75₁₀.

2. Проверка обратным переводом.

Проверим целую часть (52):
  52 ÷ 2 = 26, остаток 0
  26 ÷ 2 = 13, остаток 0
  13 ÷ 2 = 6, остаток 1
  6 ÷ 2 = 3, остаток 0
  3 ÷ 2 = 1, остаток 1
  1 ÷ 2 = 0, остаток 1

Остатки в обратном порядке: 1, 1, 0, 1, 0, 0 → 110100₂.

Проверим дробную часть (0,75):

Умножение на 2:
  0,75 × 2 = 1,5 → целая часть 1, остаток 0,5
  0,5 × 2 = 1,0 → целая часть 1

Получаем двоичную дробь .11₂.

Таким образом, обратное преобразование даёт 110100,11₂ – совпадает с исходным.

─────────────────────────────
Ответ:

а) 1011011₂ = 91₁₀
б) 10110111₂ = 183₁₀
в) 011100001₂ = 225₁₀
г) 0,1000110₂ = 0,546875₁₀
д) 110100,11₂ = 52,75₁₀

Все результаты проверены обратным переводом из десятичной системы в двоичную.

Нужно решить другие задачи?

Решить задачу

Похожие задачи