Условие задачи
Переведите в двоичную систему счисления следующие десятичные числа:
2; 7; 17; 68; 315; 765; 2047.
Решение
Дисциплина, к которой относится данная задача, это теория числовых систем (или, в более широком смысле, основы информатики и дискретной математики). В этой задаче необходимо перевести числа из десятичной системы счисления в двоичную систему счисления. Для этого используется метод последовательного деления на 2 с записью остатков. Далее приведём подробное решение для каждого числа.
Общий алгоритм перевода десятичного числа N в двоичное:
1. Делим число N на 2.
2. Записываем целую часть от деления и остаток (0 или 1).
3. Полученное частное снова делим на 2, записывая остаток.
4. Продолжаем до тех пор, пока частное не станет равным 0.
5. Итоговая двоичная запись получается при записи остатков в обратном порядке (начиная с последнего остатка).
Ниже рассмотрим каждое число отдельно.
──────────────────────────────
1) Перевод числа 2:
Деления:
• 2 ÷ 2 = 1, остаток 0.
• 1 ÷ 2 = 0, остаток 1.
Записываем остатки в обратном порядке: 1, затем 0.
Ответ: 2₁₀ = 10₂.
──────────────────────────────
2) Перевод числа 7:
Деления:
• 7 ÷ 2 = 3, остаток 1.
• 3 ÷ 2 = 1, остаток 1.
• 1 ÷ 2 = 0, остаток 1.
Записываем остатки в обратном порядке: 1, 1, 1.
Ответ: 7₁₀ = 111₂.
──────────────────────────────
3) Перевод числа 17:
Деления:
• 17 ÷ 2 = 8, остаток 1.
• 8 ÷ 2 = 4, остаток 0.
• 4 ÷ 2 = 2, остаток 0.
• 2 ÷ 2 = 1, остаток 0.
• 1 ÷ 2 = 0, остаток 1.
Записываем остатки в обратном порядке: 1, 0, 0, 0, 1.
Ответ: 17₁₀ = 10001₂.
──────────────────────────────
4) Перевод числа 68:
Деления:
• 68 ÷ 2 = 34, остаток 0.
• 34 ÷ 2 = 17, остаток 0.
• 17 ÷ 2 = 8, остаток 1.
• 8 ÷ 2 = 4, остаток 0.
• 4 ÷ 2 = 2, остаток 0.
• 2 ÷ 2 = 1, остаток 0.
• 1 ÷ 2 = 0, остаток 1.
Записываем остатки в обратном порядке: 1, 0, 0, 0, 1, 0, 0.
Ответ: 68₁₀ = 1000100₂.
──────────────────────────────
5) Перевод числа 315:
Деления:
• 315 ÷ 2 = 157, остаток 1.
• 157 ÷ 2 = 78, остаток 1.
• 78 ÷ 2 = 39, остаток 0.
• 39 ÷ 2 = 19, остаток 1.
• 19 ÷ 2 = 9, остаток 1.
• 9 ÷ 2 = 4, остаток 1.
• 4 ÷ 2 = 2, остаток 0.
• 2 ÷ 2 = 1, остаток 0.
• 1 ÷ 2 = 0, остаток 1.
Записывая остатки в обратном порядке получаем: 1, 0, 0, 1, 1, 1, 0, 1, 1.
Ответ: 315₁₀ = 100111011₂.
──────────────────────────────
6) Перевод числа 765:
Деления:
• 765 ÷ 2 = 382, остаток 1.
• 382 ÷ 2 = 191, остаток 0.
• 191 ÷ 2 = 95, остаток 1.
• 95 ÷ 2 = 47, остаток 1.
• 47 ÷ 2 = 23, остаток 1.
• 23 ÷ 2 = 11, остаток 1.
• 11 ÷ 2 = 5, остаток 1.
• 5 ÷ 2 = 2, остаток 1.
• 2 ÷ 2 = 1, остаток 0.
• 1 ÷ 2 = 0, остаток 1.
Записываем остатки в обратном порядке: 1, 0, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 0, 1.
Ответ: 765₁₀ = 1011111101₂.
──────────────────────────────
7) Перевод числа 2047:
Наблюдаем, что 2047 = 2¹¹ − 1, а значит его двоичная запись состоит из одиннадцати единиц.
Ответ: 2047₁₀ = 11111111111₂.
──────────────────────────────
Итоговые ответы:
• 2₁₀ = 10₂
• 7₁₀ = 111₂
• 17₁₀ = 10001₂
• 68₁₀ = 1000100₂
• 315₁₀ = 100111011₂
• 765₁₀ = 1011111101₂
• 2047₁₀ = 11111111111₂
Таким образом, мы перевели все заданные десятичные числа в двоичную систему счисления, используя метод последовательного деления на 2 и запись остатков в обратном порядке.