Условие задачи
Робинзон Крузо прожил на необитаемом острове 28 лет 2 месяца и 19 дней. Чтобы не потерять счёт времени, он каждый день делал на столбе зарубки.
а) Робинзон приплыл на остров 30 сентября. Сколько зарубок сделал он за три месяца?
б) Первое число каждого месяца он отмечал длинной зарубкой. Сколько таких зарубок сделал он за 10 лет? За 20 лет? За всё время пребывания на острове?
Решение
Ниже приводится подробное решение задачи, которая относится к элементарной арифметике с привязкой к календарным датам (задачи на вычисление количества дней и месяцев).
Мы имеем условие, что Робинзон Крузо жил на острове 28 лет, 2 месяца и 19 дней, а каждый день он делал зарубку на столбе. Кроме того, в первый день каждого месяца он делал длинную зарубку.
При этом в пункте (а) даётся информация о том, что он приплыл 30 сентября, и спрашивается, сколько зарубок (то есть, как много дней) он насчитал за три месяца. В пункте (б) требуется подсчитать число длинных зарубок, которые он отметил в даты первого числа месяца за некоторые промежутки времени.
Мы решим задачу по пунктам.
─────────────────────────────
1. Решение пункта (а)
Условие: Робинзон прибыл 30 сентября и ведёт ежедневный учёт (каждую дату ставит зарубку). Считаем, что «за три месяца» понимается период трёх календарных месяцев после прибытия. Поскольку 30 сентября – почти конец сентября, первые три полных календарных месяца – это октябрь, ноябрь и декабрь.
Количество дней в этих месяцах:
• Октябрь – 31 день,
• Ноябрь – 30 дней,
• Декабрь – 31 день.
Таким образом, если считать только полные месяцы, то всего дней получаем:
N₁ = 31 + 30 + 31 = 92.
Заметим, что если бы решали по-другому и включали день прибытия (30 сентября), то период с 30 сентября по 30 декабря включительно содержал бы 92 дня (1 день сентября + 31 (октябрь) + 30 (ноябрь) + 30 (декабрь) = 92). В обоих случаях итог получается тот же: за три месяца проводилось 92 ежедневных зарубки.
Ответ к пункту (а): 92 зарубки.
─────────────────────────────
2. Решение пункта (б)
Условие: Робинзон на первое число каждого месяца ставил длинную зарубку. Нужно подсчитать, сколько таких длинных зарубок он поставил за:
– 10 лет,
– 20 лет,
– всё время пребывания (28 лет, 2 месяца, 19 дней).
Важно понимать следующее. Робинзон приступил к жизни на острове, приплыв 30 сентября. Поэтому в первый месяц, в котором он уже находился, первый день, который он встретил на острове – это 1 октября того же месяца. Дальше каждый 1-е число месяца отмечается длинной зарубкой.
Для любого полного календарного периода, когда он присутствует на острове с начала месяца до конца, количество длинных зарубок равно числу месяцев в этом периоде. А в полном году их 12.
a) За 10 лет.
Предполагаем, что «10 лет» – это 10 полных лет, начиная с момента, когда первый месяц (октябрь первого года) уже учтён. Тогда за один год длинных зарубок – 12, а за 10 лет получится:
N₁₀ = 12 × 10 = 120.
b) За 20 лет.
Аналогично:
N₂₀ = 12 × 20 = 240.
c) За всё время пребывания.
Рассмотрим календарный разрез. Робинзон прибыл 30 сентября первого года, и его первый длинный учёт произошёл 1 октября того же года. Далее он находился на острове 28 лет, 2 месяца и 19 дней. Чтобы понять, сколько раз наступало первое число месяца за всё пребывание, посчитаем количество месяцев от октября года прибытия до месяца, в котором ещё был 1-е число до даты ухода.
Определим:
– В первый (неполный) год (год прибытия) он насчитал длинные зарубки в месяцы: октябрь, ноябрь, декабрь. Это 3 зарубки.
– Затем имеются полные годы от года 1 до года 27 включительно (условно, если год прибытия – год 0, то следующие 27 полных лет): в каждом по 12 длинных зарубок. Их число:
27 × 12 = 324.
– Последний (28‑ой) год не является полным. Робинзон отметил, что он прожил 28 полных лет плюс ещё 2 месяца и 19 дней. После 28 полных лет его день рождения (в контексте прибытия) приходится на 30 сентября 28‑го года. Далее идут ещё два полных месяца – октябрь и ноябрь – и часть декабря. Но! Зарубки ставятся 1‑го числа месяца, поэтому в 28‑ом году на острове он точно присутствовал 1 января, 1 февраля, …, 1 сентября, а затем после 30 сентября – также 1 октября, 1 ноября и 1 декабря. То есть, по факту, он успел отметить все 12 «первых чисел» этого года, потому что он находился на острове с начала года (все даты 1 января … 1 сентября) и после дня прибытия плюс дополнительный период он был там 1 октября, 1 ноября и 1 декабря (даже если год не полный, 1‑е декабря произошло до 19 декабря ухода).
Таким образом, в последний (28‑ом) году получается 12 длинных зарубок.
Суммируем их:
N_общ = 3 (год прибытия) + 324 (полных 27 лет) + 12 (28‑ой год) = 339.
Ответ к пункту (б):
– за 10 лет: 120 длинных зарубок,
– за 20 лет: 240 длинных зарубок,
– за всё время пребывания: 339 длинных зарубок.
─────────────────────────────
Ответ:
а) 92 зарубки за три месяца.
б) Длинными зарубками он отметил:
– за 10 лет – 120,
– за 20 лет – 240,
– за всё время (28 лет, 2 месяца, 19 дней) – 339.
Эти рассчёты основаны на том, что в первый месяц после прибытия (начиная с 1 октября) и во все последующие месяца до ухода, всегда наступало 1‑е число, на которое он делал длинную зарубку.