Условие задачи
Построить в MS Excel амплитудно-фазочастотную характеристику (АФЧХ) и логарифмические амплитудно-частотную (ЛАЧХ) и фазочастотную (ФЧХ) характеристики системы автоматического управления, передаточная функция которой задана. ЛАЧХ построить в виде точных значений и асимптот.
Решение
Ниже приводится подробное решение задачи из области теории автоматического управления (систем автоматического регулирования). Задача сводится к построению по заданной передаточной функции системы её амплитудно‑фазовой характеристики (АФЧХ) и логарифмических характеристик (ЛАЧХ и ФЧХ) с выделением как точных значений ЛАЧХ, так и её асимптот.
─────────────────────────────
1. Исходные данные и методика анализа
Дисциплина задачи – теория автоматического управления (системы автоматического регулирования). Здесь анализируется частотная характеристика системы. Передаточная функция выражает соотношение между входным и выходным сигналом в комплексной плоскости. Обычно передаточная функция записывается в виде
W(s) = K · [(s – z₁)(s – z₂)…] / [(s – p₁)(s – p₂)…]
где K – коэффициент усиления, z₁, z₂,… – нули, p₁, p₂,… – полюса системы.
Для построения АФЧХ и логарифмических характеристик необходимо заменить переменную s на jω, где j = √(-1), а ω – циклическая частота (в рад/с). Тогда
W(jω) = K · [(jω – z₁)(jω – z₂)…] / [(jω – p₁)(jω – p₂)…].
Модуль |W(jω)| и аргумент φ(ω) = arg[W(jω)] определяют соответственно амплитудную и фазовую характеристики.
─────────────────────────────
2. Постановка задачи в Excel
Для построения графиков в MS Excel необходимо:
• Задать диапазон частот. Рекомендуется брать логарифмически равномерно распределённые ω (например, от ωₘᵢₙ = 0,1 рад/с до ωₘₐₓ = 100 рад/с).
• Для каждого значения ω вычислить:
– Реальную и мнимую части W(jω).
– Модуль |W(jω)| = √[Re(W(jω))² + Im(W(jω))²].
– Фазу φ(ω) = arctan(Im(W(jω))/Re(W(jω))) (с учётом четверти, что можно реализовать с помощью функции ATAN2).
• Построить график «Амплитуда-фаза» – это совмещённое изображение модуля (или его логарифма) и фазы по частоте.
Для построения логарифмических характеристик:
– Логарифмическая амплитудно-частотная характеристика (ЛАЧХ): вычисляется в децибелах по формуле
A(ω) = 20 · log₁₀ |W(jω)|.
– Фазочастотная характеристика (ФЧХ): график зависимости φ(ω) от log(ω).
─────────────────────────────
3. Детальный метод расчёта
Рассмотрим, для наглядности, пример передаточной функции (при отсутствии конкретных числовых данных из условия, будем работать с типичным примером):
W(s) = 10 · (1 + 0.1·s) / [s · (1 + 0.5·s) · (1 + 0.2·s)].
Замена s на jω даёт:
W(jω) = 10 · (1 + 0.1·jω) / [jω · (1 + 0.5·jω) · (1 + 0.2·jω)].
Далее необходимо вычислить:
A. Модуль W(jω):
|W(jω)| = 10 · |1 + 0.1·jω| / [|jω| · |1 + 0.5·jω| · |1 + 0.2·jω|].
При этом:
• |1 + k·jω| = √(1² + (kω)²) (так, для k = 0.1, 0.5 и 0.2).
• |jω| = ω.
Таким образом, получаем:
|W(jω)| = 10 · √[1 + (0.1·ω)²] / {ω · √[1 + (0.5·ω)²] · √[1 + (0.2·ω)²]}.
B. Фаза φ(ω):
Фаза W(jω) равна разности фаз числителя и знаменателя. Отдельно каждое слагаемое имеет фазу:
– Для числителя 1 + 0.1·jω, φₙ = arctan(0.1·ω / 1).
– Для множителя в знаменателе jω, его фаза равна +90° (или π/2 рад).
– Для множителя 1 + 0.5·jω, фаза равна arctan(0.5·ω).
– Для множителя 1 + 0.2·jω, фаза равна arctan(0.2·ω).
Итак, итоговая фаза:
φ(ω) = arctan(0.1·ω) – [90° + arctan(0.5·ω) + arctan(0.2·ω)].
Если необходимо, результат можно перевести в радианы, используя соотношение 90° = π/2.
C. Логарифмическая амплитудно-частотная характеристика (ЛАЧХ):
В децибелах:
A(ω) = 20 · log₁₀ |W(jω)|.
Подставляя модуль, получаем:
A(ω) = 20 · log₁₀ {10 · √[1 + (0.1·ω)²] / [ω · √[1 + (0.5·ω)²] · √[1 + (0.2·ω)²]]}.
Также можно разложить ЛАЧХ на асимптотические составляющие:
• Построить асимптоту по отдельным звеньям:
– Коэффициент 10 даёт сдвиг 20 · log₁₀ 10 = 20 дБ.
– Фактор (1 + 0.1·jω) – нулевой член с угловым коэффициентом +20 дБ/деkadу, начиная примерно с ω ≈ 1/0.1 = 10 рад/с.
– Множитель jω в знаменателе – дает падение −20 дБ/деkadу, начиная от ω, близкого к 0.
– Факторы (1 + 0.5·jω) и (1 + 0.2·jω) дают спад −20 дБ/деkadу, начиная с частот 1/0.5 = 2 рад/с и 1/0.2 = 5 рад/с соответственно.
Таким образом, суммарный наклон асимптот: при ω → малым – доминирует эффект полюса в начале (–20 дБ/деkadу), затем при ω > 2 рад/с суммарный наклон становится –20 + (от нуля нуля) −20 −20 = –60 дБ/деkadу плюс прирост от нуля, в зависимости от точек перехода.
─────────────────────────────
4. Реализация в MS Excel
Чтобы построить графики в Excel, следует выполнить следующие шаги:
1. В столбце A задайте логарифмически распределённые значения ω. Например, можно выбрать 30–50 точек. Для этого можно задать значение ω в первой строке (например, 0.1) и затем в последующих строках умножать предыдущую частоту на фиксированный коэффициент (например, коэффициент = (ωₘₐₓ/ωₘᵢₙ)^(1/(N–1))).
2. В столбце B вычислите значение √[1 + (0.1·ω)²]. Если ω находится в ячейке A2, формула будет:
=КОРЕНЬ(1 + (0.1*A2)^2).
3. Аналогично, для других множителей:
• Столбец C: √[1 + (0.5·ω)²] = КОРЕНЬ(1 + (0.5*A2)^2).
• Столбец D: √[1 + (0.2·ω)²] = КОРЕНЬ(1 + (0.2*A2)^2).
4. В столбце E вычислите модуль |W(jω)| по формуле:
=10 * B2 / (A2 * C2 * D2).
5. В столбце F вычислите АЛЧХ в дБ:
=20 * ЛОГ10(E2).
6. Для фазы φ(ω) в столбце G:
– Используйте функцию ATAN2. Например, для числителя: φₙ = ATAN(0.1*A2) (учтён знак всегда положительный, так как действительная часть равна 1).
– Для знаменателя суммируйте соответствующие фазы: ATAN(INFУ сквозная функция ATAN2(0.5*A2, 1) и ATAN2(0.2*A2, 1)). К фазы полюса jω прибавляется около 90° (или π/2 радиан).
Формула может быть записана как (в градусах):
=УГЛ(ATAN(0.1*A2)) – (90 + УГЛ(ATAN(0.5*A2)) + УГЛ(ATAN(0.2*A2))).
Если функция УГЛ отсутствует, можно использовать преобразование из радиан в градусы умножая на 180/π.
7. Постройте графики:
• Диаграмма «точечная с гладкими линиями» для ЛАЧХ (столбец A – ω по логарифмической оси, столбец F – A(ω) в дБ).
• Аналогично – для ФЧХ (столбец A – ω, столбец G – φ(ω)).
8. Для асимптотической ЛАЧХ дополнительно:
– Вручную рассчитайте вклад каждого звена. Например, для нуля (1 + 0.1·jω) асимптотическая амплитуда в дБ равна 20*LOG10(0.1*ω) для ω > 10 рад/с, а для полюсов –20*LOG10(ω) с пороговыми частотами 0 (для множителя jω), 2 рад/с (для (1+0.5·jω)) и 5 рад/с (для (1+0.2·jω)).
– Суммируя эти линейные участки (с поправкой на сдвиги), получите асимптотическую кривую ЛАЧХ, которую можно построить на том же графике для сравнения с точными значениями.
─────────────────────────────
5. Итоговое представление решения
1. Подставляем s = jω в передаточную функцию:
W(jω) = 10 · (1 + 0.1·jω) / [jω · (1 + 0.5·jω) · (1 + 0.2·jω)].
2. Вычисляем модуль:
|W(jω)| = 10 · √(1 + 0.01·ω²) / [ω · √(1 + 0.25·ω²) · √(1 + 0.04·ω²)].
3. Вычисляем фазу:
φ(ω) = arctan(0.1·ω) – [90° + arctan(0.5·ω) + arctan(0.2·ω)].
4. ЛАЧХ (в дБ):
A(ω) = 20 · log₁₀ [10 · √(1 + 0.01·ω²) / (ω · √(1 + 0.25·ω²) · √(1 + 0.04·ω²))].
5. В Excel создаём табличку с ω, вычисляем вышеуказанные функции с помощью встроенных функций (КОРЕНЬ, ЛОГ10, ATAN или ATAN2) и строим графики:
– Для АФЧХ – объединённый график модуля (или его логарифмического представления) и фазы.
– Для ЛАЧХ – график точных значений и график асимптот (линейной аппроксимации, складывая вклады отдельных звеньев).
─────────────────────────────
6. Замечания по построению асимптот ЛАЧХ
Асимптотические линии строятся следующим образом:
• На низких частотах (ω → 0) вклад полюса jω определяет неопределённое значение (в логарифмическом масштабе – “менее −∞”); на практике выбирают начальную частоту так, чтобы график имел конечное значение.
• При ω, превышающих критические частоты каждого звена (обратные значения множителей перед jω в (1 + k·jω)), кривая меняет наклон:
– Ноль (1 + 0.1·jω) начинает влиять при ω ≈ 10 рад/с с приростом +20 дБ/деkadу;
– Полюс (1 + 0.5·jω) – при ω ≈ 2 рад/с с спадом −20 дБ/деkadу;
– Полюс (1 + 0.2·jω) – при ω ≈ 5 рад/с с спадом −20 дБ/деkadу;
– Множитель jω даёт спад −20 дБ/деkadу на всем диапазоне.
Суммарно асимптотическая ЛАЧХ получается посредством сложения этих эффектов, что позволяет построить ломаную линию, приближающую точное значение A(ω).
─────────────────────────────
7. Вывод
Таким образом, алгоритм решения задачи следующий:
1. Заменить s на jω в передаточной функции.
2. Вычислить модуль |W(jω)| и фазу φ(ω) с помощью алгебраических операций (учитывая правила вычисления модулей и аргументов комплексных чисел).
3. Получить АФЧХ, ЛАЧХ и ФЧХ.
4. Построить таблицу расчётов в MS Excel с соответствующими функциями:
– КОРЕНЬ для извлечения квадратного корня,
– ЛОГ10 для логарифма по основанию 10,
– ATAN или ATAN2 для вычисления углов.
5. Отдельно рассчитать асимптотические линии ЛАЧХ, определив критические частоты и угловые коэффициенты (наклоны в дБ/деkadу) каждого полюса и нуля.
6. Построить графики, сравнив точное значение ЛАЧХ с её асимптотой.
Это и представляет подробное решение задачи по построению амплитудно‑фазочастотных характеристик системы автоматического управления средствами MS Excel при заданной передаточной функции.