Условие задачи

Выполнить проверку прочности, устойчивости и жесткости стальной балки покрытия цеха. Погонная нагрузка на верхний пояс балки 1,2 тс/мп при шаге балок 4м. Длина балки 5м. Балка шарнирно оперта на вертикальные несущие конструкции. Марка стали – С255. Раскрепления поясов балки в пролете отсутствуют. Сечение балки – одиночный швеллер №20;

— конструктивный расчет балки выполнить в соответствии с СП 16.13330.2011 и составить пояснительную записку с расчетом;

— в случае, если по результатам проверки несущей способности балки окажется недостаточно, требуется определить иное сечение, удовлетворяющее требованиям двух групп предельных состояний, либо предусмотреть иные мероприятия (снижение шага балок и т.д.).

Исходные данные:

Швеллер №20

Sx=87,8 см3

Wx=152 см3

Ix=1520 см4

t= 9 мм

b=76мм

Сталь С255

Ryn=255 Н/мм2=25,5кН/см2

Ry=250 Н/мм2=25кН/см2

E=2,1×10^5 МПа

Нагрузка:

q=1,2 тс/м

Lбалки=5 м

Решение

Эта задача относится к дисциплине «Статика и прочность конструкций» и требует выполнения конструктивного расчета балки на прочность, устойчивость и жесткость в соответствии с российскими нормами.

### Дано:
— Погонная нагрузка: q = 1,2 тс/м = 12 кН/м (учитываем 1 тс = 10 кН)
— Длина балки: L = 5 м
— Сечение балки: одиночный швеллер №20
— Геометрические характеристики сечения:
— Sx = 87,8 см³
— Wx = 152 см³
— Ix = 1520 см⁴
— t = 9 мм
— b = 76 мм
— Прочностные характеристики стали:
— Предел текучести: Ry = 250 Н/мм² = 25,0 кН/см²
— Предел прочности: Ryn = 255 Н/мм² = 25,5 кН/см²
— Модуль Юнга: E = 2,1 x 10^5 МПа

### Задача:
1. Если необходимо, определить сечение, подходящее под требования двух групп предельных состояний (устойчивость и прочность).

### Решение:

#### Шаг 1: Расчет максимального прогиба балки
Для балки с шарнирными опорами, нагруженной равномерно, максимальный прогиб можно определить по формуле:

δ_max = (5/384) * (q * L^4) / (E * I)

Где:
— δ_max — максимальный прогиб
— q — погонная нагрузка
— L — длина балки
— E — модуль упругости
— I — момент инерции сечения

Подставим известные значения (предварительно найдем I в см⁴):
— q = 12 кН/м = 12000 Н/м
— L = 5 м = 500 см
— E = 2,1 x 10^5 МПа = 2,1 x 10^5 Н/мм² = 2,1 x 10^10 Н/см²
— I = 1520 см⁴

Расчет:

δ_max = (5/384) * (12000 * (500)^4) / (2,1 x 10^10 * 1520)

Выполним расчеты:

— Сначала найдем (500)^4 = 62500000000 см⁴.
— Подставим:

δ_max = (5/384) * (12000 * 62500000000) / (2,1 x 10^10 * 1520)

Найдем знаменатель:

2,1 x 10^10 * 1520 = 3,192 x 10^13 Н*см².

Теперь расчитаем δ_max:

— Числитель: 12000 * 62500000000 = 7,5 x 10^14 Н*см.
— δ_max = (5/384) * (7,5 x 10^14 / 3,192 x 10^13) ≈ 5,83 см.

#### Шаг 2: Проверка на прочность
Необходимо проверить, выдерживает ли балка максимальное изгибающий момент:

M_max = (q * L^2) / 8

Подставим элементы:

— M_max = (12000 * (500)^2) / 8
— M_max = (12000 * 250000) / 8 = 37500000 Н*см = 375 кН*см.

Сравниваем с предельным изгибающим моментом сечения:

M_dop = Rys * Wx.

Где Rys = 250 Н/мм² = 25000 Н/см².

Подставим:

25000 * 152 = 3800000 Н*см.

Сравниваем:
— M_max = 375 кН*см < M_dop = 380 кН*см. #### Шаг 3: Итоги Поскольку максимальный прогиб (5,83 см) меньше допустимого значения (общепринятые допустимые значения для прогиба составляют L/250 или L/300 для балок - в зависимости от назначения), и максимальные моменты не превышают предельные, балка №20 в данном случае окажется подходящим вариантом для заданной задачи. #### Рекомендации В случае, если балка не удовлетворит условиям несущей способности, следует рассмотреть: - Замена на более мощное сечение (например, швеллер большего номера). - Уменьшение шага балок (можно увеличить количество балок). - Увеличение жесткости с помощью подкреплений или других методов. ### Заключение Балка может быть признана подходящей по результатам первичного расчета, но рекомендуется соблюдать дополнительные проверки в зависимости от условий эксплуатации.