Условие задачи
Что такое гомология; гомологи?
Решение
Ниже приведено подробное решение задачи с точки зрения алгебраической топологии.
──────────────────────────────
1. Введение
В алгебраической топологии гомология служит методом ассоциирования топологическому пространству последовательности абелевых групп (или модулей), которые позволяют «измерить» его форму. Идея состоит в том, что некоторые особенности пространства (например, отверстия, тоннели, полости) отражаются в ненулевых гомологических группах.
──────────────────────────────
2. Цепочные комплексы и отображения границы
Чтобы построить гомологию, вводится понятие цепочного комплекса. Пусть X – топологическое пространство, и для него определён набор абелевых групп Cₙ (n ≥ 0), называемых группами n‑цепей, которые, например, могут быть сформированы из формальных линейных комбинаций n‑простыхкостей (например, треугольников, тетраэдров и т.д.). Между ними задаются гомоморфизмы, называемые операторами границы, обозначаемые ∂ₙ : Cₙ → Cₙ₋₁, так, что для любого n выполняется свойство
∂ₙ ∘ ∂ₙ₊₁ = 0.
Это условие означает, что образ оператора границы любого (n+1)‑элемента всегда содержится в множестве нулей оператора границы для n‑элементов.
──────────────────────────────
3. Определение гомологических групп
На основе цепочного комплекса строят группы гомологии. Для каждого n определяются следующие подгруппы в группе n‑цепей:
• Значащие циклы: Zₙ = ker(∂ₙ), то есть все n‑цепи, для которых ∂ₙ равен 0.
• Границы: Bₙ = im(∂ₙ₊₁), то есть образы (n+1)‑цепей посредством оператора границы.
При этом любое Bₙ всегда является подгруппой Zₙ, поскольку ∂ₙ(∂ₙ₊₁) = 0.
Далее определяется n‑ая гомологическая группа как факторгруппа
Hₙ(X) = Zₙ / Bₙ.
Проще говоря, два цикла считаются эквивалентными (то есть принадлежащими одному гомологическому классу или называемыми гомологами), если их разность представима в виде границы некоторой (n+1)‑цепи.
──────────────────────────────
4. Что такое гомология и гомологи?
• Гомология – это, с одной стороны, вся теория, позволяющая ставить в соответствие топологическому пространству абелевы группы Hₙ(X), отражающие его структурные свойства. С другой стороны, термин «гомология» может означать построенную последовательность этих абелевых групп, которая является инвариантом при гомеоморфизмах. Таким образом, гомология — это метод получения алгебраических инвариантов (групп), характеризующих топологию пространства на различных размерностях.
• Гомологи – это элементы (точнее, классы эквивалентности) этих гомологических групп. Например, если α ∈ Zₙ – некоторый n‑цикл, то его класс в гомологической группе Hₙ(X) определяется как
[α] = { β ∈ Zₙ | α − β ∈ Bₙ }.
Два цикла называются гомологичными, если они отличаются на границу (то есть принадлежат одному классу эквивалентности). Такие классы называются гомологическими классами, а их элементы – гомологами.
──────────────────────────────
5. Пример
Рассмотрим пространство, имеющее одно «дырявое» отверстие (например, круг или тор в двумерном случае). При вычислении гомологических групп получается, что H₀ отражает число связных компонент, а H₁ отражает наличие «отверстия». Конкретно, если H₁ не тривиальна, то это указывает, что в пространстве имеется нетривиальный цикл, не являющийся границей, то есть данный цикл имеет смысл как гомологический класс («гомолог») в H₁.
──────────────────────────────
6. Итог
Таким образом, с точки зрения алгебраической топологии:
– Гомология – это теория и совокупность конструкций (цепочных комплексов, групп циклов и границ, гомологических групп Hₙ), которые позволяют переводить топологические свойства в алгебраическую форму.
– Гомологи – это элементы (точнее, классы эквивалентности) в гомологических группах Hₙ, определяемые как циклы, различающиеся на границы, то есть непосредственно отражающие нетривиальные топологические особенности пространства.
Это понятие позволяет решать задачи классификации топологических пространств, выявлять их инварианты и устанавливать эквивалентность (например, гомеоморфизм) между пространствами средствами алгебраических методов.