Условие задачи
Что называют периодом? Что общего между малыми и большими периодами? В чём состоит отличие?
Решение
Дисциплина, к которой относится данная задача, – математический анализ (теория функций). Здесь рассматривается понятие периодической функции, её периодов, а именно – малых (наименьших положительных) и больших периодов.
Ниже приведём подробное решение.
1. Определение периода функции
Пусть задана функция f, определённая на ℝ. Число T, T ≠ 0, называется периодом функции f, если
∀ x ∈ ℝ f(x + T) = f(x).
Это означает, что при сдвиге аргумента на T функция не меняется.
2. Малый (наименьший положительный) период
Если существует положительное число T₀ такое, что для всех x ∈ ℝ выполняется равенство
f(x + T₀) = f(x),
и при этом любое другое положительное число T, для которого это равенство выполняется, не меньше T₀, то T₀ называется наименьшим положительным периодом, или малым периодом. Обычно именно малый период обозначают через T₀. Он характеризует «основную» периодичность функции.
Важно отметить, что не для всех функций имеет смысл говорить о наименьшем периоде. Например, для постоянной функции f(x) = c любое число T является периодом, и понятие «наименьший» здесь теряет смысл.
3. Большие периоды
Любое число T, для которого выполняется f(x + T) = f(x) ∀ x ∈ ℝ, называется периодом функции. Если у функции существует малый период T₀, то всякий её период имеет вид
T = k · T₀, где k – целое число (k ∈ ℤ, k ≠ 0).
В этом случае периоды, отличные от T₀ (то есть для k ≠ 1 по модулю), принято называть большими периодами. Они также удовлетворяют определению периода, но не являются наименьшими положительными значениями, с которого начинается циклическое повторение.
4. Что общего между малыми и большими периодами?
Общее для всех периодов функции – независимо от того, малый это период или большой – является то, что они удовлетворяют условию f(x + T) = f(x) для всех x ∈ ℝ. То есть, и малый, и любые его кратные (большие периоды) являются периодами функции.
5. В чём состоит отличие?
Отличие состоит в следующем:
• Малый (наименьший положительный) период T₀ – это минимальное положительное число, удовлетворяющее равенству f(x + T₀) = f(x) для всех x, то есть «основной блок», после которого функция повторяется.
• Большие периоды – это любые другие числа T, для которых выполняется f(x + T) = f(x). При наличии малого периода они всегда выражаются в виде T = k · T₀, где k – целое число, причем для k с модулем большим единицы T оказывается больше T₀.
Таким образом, основное различие в том, что малый период – это минимальное по величине число, дающее повторение функции, а большие периоды представляют собой его целочисленные кратные, обладающие той же периодичностью, но не являющиеся минимальными.
Вывод:
Период – это число T, удовлетворяющее f(x + T) = f(x) ∀ x ∈ ℝ. Малый период (наименьший положительный) — это минимальное такое число, а большие периоды — это любые числа, равные целочисленным кратным малого периода, и, следовательно, обладающие свойством периодичности, но не являющиеся минимальными значениями для повторения функции.