Условие задачи
Рассчитать однопролётную свободно опёртую железобетонную балку прямоугольного сечения, загруженную равномерно распределённой нагрузкой, при этом:
1. Определить усилия в сечении балки;
2. Подобрать размеры балки и диаметр рабочей арматуры;
3. Произвести расчёт балки на поперечные силы.
Примечание:
Ø Собственная масса балки включена в постоянную нагрузку.
Ø Коэффициенты надёжности по нагрузке принять: для временных нагрузок – 1,2; для постоянных нагрузок – 1,1.
Ø Монтажная и поперечная арматура класса А-1.
ДАНО:
Пролёт балки = 5 м
Шаг балки = 5,2 м
Постоянная нормативная нагрузка qн = 3,3 кН/м2
Временная нормативная нагрузка pн = 3 кН/м2
Бетон класса В25
Рабочая арматура класса А-II
Монтажная и поперечная арматура класса А-I
Опирание балки 250 мм
Коэффициенты надёжности по нагрузке:
для временной γf= 1,2
для постоянной γf= 1,1
Расчётные характеристики материалов:
для бетона класса В25 (СНиП 2.03.01-84 «Бетонные и железобетонные конструкции», табл.13):
Rb = 14,5 МПа
Rbt = 1,05 МПа
Eb = 30*103 МПа – табл.18 СНиП 2.03.01-84
для арматуры класса А – II:
Rs = 280 МПа – табл. 22 СНиП 2.03.01-84
Es = 21*104 МПа – табл. 29 СНиП 2.03.01-84
для арматуры класса А – I:
Rsω = 175 МПа – табл. 22 СНиП 2.03.01-84
Решение
Ниже приводится подробное решение задачи по расчёту однопролётной свободно опёртой железобетонной балки в соответствии с нормами СНиП и правилами расчёта железобетонных конструкций. Методика решения основана на теории огибающей расчётных воздействий, предельно допустимых напряжениях в материале и упрощённой схеме расчёта сечения балки.
─────────────────────────────
1. Исходные данные и расчёт распределённых нагрузок
Даны:
• Пролёт балки L = 5 м
• Шаг балки (эффективная ширина нагрузки) bₑ = 5,2 м
• Нормативная постоянная нагрузка: qₙ = 3,3 кН/м²
• Нормативная временная нагрузка: pₙ = 3 кН/м²
• КФ постоянных нагрузок γ₍ₚ₎ = 1,1
• КФ временных нагрузок γ₍ₜ₎ = 1,2
• Класс бетона В25, рассчит. прочность на сжатие Rᵦ = 14,5 МПа
• Рабочая (основная) арматура класса А–II, Rₛ = 280 МПа
• Монтажная и поперечная арматура класса А–I, Rₛω = 175 МПа
• Глубина опирания (условно – зазоровая глубина в опорах) 250 мм
• При расчёте собственный вес балки включён в постоянную нагрузку.
Рассчитаем нагрузку на балку (на 1 м пролёта). Эффективная нагрузка формируется по сумме постоянной и временной нагрузок с учётом коэффициентов:
g₍расч₎ = γ₍ₚ₎ · (qₙ · bₑ)
= 1,1 · (3,3 кН/м² · 5,2 м)
= 1,1 · 17,16 кН/м
≈ 18,9 кН/м
p₍расч₎ = γ₍ₜ₎ · (pₙ · bₑ)
= 1,2 · (3 кН/м² · 5,2 м)
= 1,2 · 15,6 кН/м
≈ 18,7 кН/м
Итоговая равномерно распределённая нагрузка:
w = g₍расч₎ + p₍расч₎ ≈ 18,9 + 18,7 = 37,6 кН/м
─────────────────────────────
2. Определение усилий в сечении балки
Для свободно опёртой (просто опираемой) балки максимальный изгибающий момент и продольная поперечная сила (сдвигающее усилие) определяются по классическим формулам.
• Максимальный изгибающий момент (в середине пролёта):
M₍макс₎ = w · L² / 8
Подставим:
M₍макс₎ = 37,6 кН/м · (5 м)² / 8
= 37,6 · 25 / 8
= 940 / 8
≈ 117,5 кН·м
В пересчёте в Н·мм:
M₍макс₎ ≈ 117,5 × 10⁶ Н·мм
• Максимальное сдвигающее усилие (в опорах):
V₍макс₎ = w · L / 2
Подставим:
V₍макс₎ = 37,6 кН/м · 5 м / 2
= 188 / 2
= 94 кН
Таким образом, в сечении балки:
Изгибающий момент M₍макс₎ ≈ 117,5 × 10⁶ Н·мм
Сдвигающее усилие V₍макс₎ ≈ 94 кН
─────────────────────────────
3. Подбор геометрических размеров сечения и расчёт рабочей арматуры
Для расчёта принято предварительно выбрать прямоугольное сечение балки. Типичные начальные размеры выбираются с учётом конструктивных требований, например:
Ширина сечения b = 250 мм
Общая высота сечения h = 500 мм
При условии обеспечения необходимого защитного слоя (обычно порядка 40 мм для рабочей арматуры) и учета диаметра стержня (например, φ20 мм) примем эффективную высоту:
d = h – (защитный слой + φ₍раб₎/2)
= 500 – (40 + 10)
≈ 450 мм
Для изгиба используем упрощённую схему расчёта по методу равновесия усилий, где рассчитанный изгибающий момент определяется по соотношению:
M = Aₛ · Rₛ · (d – ½ · (Aₛ · Rₛ)/(0,85 · Rᵦ · b))
где
Aₛ – суммарное сечение рабочей арматуры (мм²).
Все прочности выражены в Н/мм² (МПа).
Известно:
M = 117,5×10⁶ Н·мм, Rₛ = 280 Н/мм², Rᵦ = 14,5 Н/мм², b = 250 мм, d = 450 мм.
Обозначим неизвестное Aₛ через x. Запишем уравнение:
117,5·10⁶ = x · 280 · (450 – (280 · x)/(2 · 0,85 · 14,5 · 250))
Сначала вычислим знаменатель в скобке:
2 · 0,85 · 14,5 · 250
= 1,7 · 14,5 · 250
= 24,65 · 250
≈ 6162,5
Таким образом уравнение приобретает вид:
117,5·10⁶ / 280 = x · [450 – (280 · x)/6162,5]
Вычислим левую часть:
117,5·10⁶ / 280 ≈ 419643
То есть:
450·x – (280/6162,5)·x² = 419643
Найдем числовое значение коэффициента:
280/6162,5 ≈ 0,0454
Получаем квадратное уравнение:
0,0454·x² – 450·x + 419643 = 0
Решим его стандартной формулой. Вычислим дискриминант:
Δ = 450² – 4·0,0454·419643
= 202500 – 4 · 0,0454 · 419643
= 202500 – 76168
≈ 126332
√Δ ≈ 355,5
Два решения:
x₁ = (450 – 355,5) / (2·0,0454)
= 94,5 / 0,0908
≈ 1041 мм²
x₂ = (450 + 355,5) / (2·0,0454)
= 805,5 / 0,0908
≈ 8875 мм²
Логичным является меньшее значение:
Aₛ ≈ 1041 мм²
Округлим до стандартного сечения и применим запас – выбираем сумму сечения рабочей арматуры порядка 1100 мм².
Выбор диаметра стержней:
Если использовать стержни φ20 мм, то площадь одного стержня:
A₍φ20₎ = π · 20²/4 ≈ 314 мм².
При 4 стержнях: 4 · 314 ≈ 1256 мм² – что больше требуемых 1100 мм² и соответствует конструктивным соображениям.
Таким образом, можно взять размещение 4 шт. стержней φ20 мм в зоне сжатия (верхней части сечения при изгибе).
─────────────────────────────
4. Расчёт поперечного (сдвигового) сопротивления
Определим, требуется ли дополнительное сдвиговое армирование.
Расчётное сдвигающее усилие:
V₍расч₎ = 94 кН
Оценим сдвиговую прочность бетона (по упрощённой методике СНиП, где характерное значение определяется по формуле, аналогичной):
Vᵣ,с = 0,5 · b · d · √Rᵦ
где b и d в мм, Rᵦ в МПа. Подставим:
√Rᵦ = √14,5 ≈ 3,81
Vᵣ,с = 0,5 · 250 · 450 · 3,81
= 125 · 450 · 3,81
= 56250 · 3,81
≈ 214312 Н, то есть ≈ 214 кН
Поскольку Vᵣ,с (214 кН) значительно превышает рассчитанное V₍расч₎ (94 кН), по расчётной методике прочность бетона по сдвигу удовлетворяет требованию.
Тем не менее, нормативы требуют обеспечения минимального поперечного армирования. Поэтому следует предусмотреть монтажную (поперечную) арматуру класса А–I.
Обычно применяют шпильки (замкнутыми стержнями) с диаметром, например, φ8 мм. Площадь одного лега:
A₍φ8₎ = π · 8²/4 ≈ 50,3 мм².
При двух легах в замкнутом стриппе – A_sw = 2 · 50,3 ≈ 100,6 мм².
Расстояние между шпильками (центральное) подбирается по требованиям СНиП (обычно не более 0,75 · d, но не превышающее 300 мм). Например, примем шаго s = 200 мм.
Таким образом, для обеспечения обязательного поперечного армирования по постоянным требованиям выбирают замкнутые шпильки (2 леги) φ8 мм с шагом не более 200 мм.
─────────────────────────────
5. Итоговый результат и рекомендации
1. Усилия в сечении балки:
– Изгибающий момент: M₍макс₎ ≈ 117,5×10⁶ Н·мм
– Сдвигающее усилие: V₍макс₎ ≈ 94 кН
2. Выбранные геометрические размеры сечения:
– Ширина сечения: b = 250 мм
– Высота сечения: h = 500 мм
– Эффективная высота: d = 450 мм
3. Рабочая (основная) арматура (класс А–II):
– Требуемое сечение: Aₛ ≈ 1040 мм²; принято Aₛ ≈ 1100 мм²
– Вариант: 4 стержня φ20 мм (по 314 мм² каждый, суммарно ≈1256 мм²)
4. Поперечное армирование (монтажная арматура класса А–I):
– Применяются замкнутые шпильки из стержней φ8 мм (каждая пара – A_sw ≈ 100 мм²)
– Шаг установки – ≈200 мм
Таким образом, согласно проведённому расчёту, предложенная балка с сечением 250×500 мм, рабочей арматурой 4 шт. φ20 мм и поперечным армированием замкнутыми шпильками φ8 мм (с шагом ≈200 мм) удовлетворяет требованиям по изгибающему и сдвиговому сопротивлению при равномерно распределённой нагрузке w ≈37,6 кН/м.
─────────────────────────────
Примечание по методике:
• При окончательном проектировании необходимо проверить все требования СНиП (расчётные коэффициенты, условиях контроля трещиностояния, продольного армирования, предельных деформаций и т.п.).
• Приведённое решение носит ориентировочный характер и может быть уточнено с учётом дополнительных условий, конструктивных ограничений и уточнений нормативных документов.
Это и есть подробное решение задачи с использованием расчётных соотношений и правил для железобетонных балок согласно СНиП, с представлением всех формул в текстовом виде с использованием символов Unicode.