Условие задачи
Определить несущую способность прямоугольного сечения изгибаемого железобетонного элемента с одиночной арматурой (по всем возможным формулам).
Исходные данные:
b=250 мм
h=550 мм
а=80 мм
Бетон тяжелый кл. В20
Арматура 4Ø28 (As =2463 мм2) А400
Решение
Ниже приведён подробный расчёт изгибающей несущей способности (момент несущей способности) железобетонного элемента с прямоугольным сечением по методике расчёта для железобетонных конструкций (расчёт по предельному состоянию). При расчёте используются следующие предположения и упрощения:
• Элемент имеет прямоугольное сечение шириной b и общей высотой h. При этом расстояние от внешней стороны сжатого бетона до центра арматуры (эффективная высота) равно d = h – a.
• При предельном состоянии напряжения в бетоне принимаются по упрощённой теории (прямоугольный напряжённый блок) с коэффициентом 0,85.
• Для расчёта предполагается, что поперечное сечение усилено одиночной зоной растянутых стержней, которые при достижении предельного состояния развивают номинальное напряжение fᵧ (текучесть).
Нам даны:
b = 250 мм,
h = 550 мм,
a = 80 мм,
класс бетона В20 (f₍ck₎ = 20 МПа),
арматура 4Ø28 с площадью Aₛ = 2463 мм², класс стали А400 (fᵧ = 400 МПа).
Наша задача – определить момент несущей способности изгибаемого элемента (Мᵤ).
─────────────────────────────
1. Определим эффективную высоту сечения
d = h – a = 550 мм – 80 мм = 470 мм.
─────────────────────────────
2. Определим глубину сжатой зоны (нейтральной оси) x
При предположении, что сталь при предельном состоянии достигает напряжения fᵧ, уравнение равновесия сил по вертикали имеет вид:
Aₛ · fᵧ = 0,85 · f₍ck₎ · b · x.
Отсюда
x = (Aₛ · fᵧ)⁄(0,85 · f₍ck₎ · b).
Подставим числовые значения:
x = (2463 мм² · 400 МПа)⁄(0,85 · 20 МПа · 250 мм).
Выполним расчёт:
В числителе: 2463 · 400 = 985200 (Н, так как 1 МПа = 1 Н/мм²);
В знаменателе: 0,85 · 20 = 17; 17 · 250 = 4250.
Тогда: x = 985200⁄4250 ≈ 231,53 мм (округлим до 232 мм).
─────────────────────────────
3. Проверка достижения пластичности стали
Для совместимости деформаций можно определить деформацию в арматуре по геометрической зависимости:
εₛ = ε₍cu₎ · (d – x)⁄x,
где ε₍cu₎ (предельная деформация сжатого бетона) обычно принимается равной 0,0035.
Подставим:
εₛ = 0,0035 · (470 мм – 232 мм)⁄232 мм ≈ 0,0035 · 238⁄232 ≈ 0,00359.
Сравним с пределом текучести стали:
εᵧ = fᵧ⁄Eₛ = 400 МПа⁄200000 МПа ≈ 0,002 (при Eₛ ≈ 200000 МПа).
Полученное значение εₛ (≈ 0,0036) значительно больше εᵧ, значит, напряжение в арматуре достигнет fᵧ – условие для пластичности выполнено.
─────────────────────────────
4. Определяем эффективное плечо внутренней силы
Для прямоугольного сечения принято, что внутреннее плечо z определяется как:
z = d – 0,5 · x.
Подставляем найденное значение x:
z = 470 мм – 0,5 · 232 мм = 470 мм – 116 мм = 354 мм.
─────────────────────────────
5. Вычисляем изгибающую несущую способность (момент)
При условии, что арматура достигает fᵧ, изгибающий момент (несущая способность) определяется по формуле:
Mᵤ = Aₛ · fᵧ · z.
Подставляем числовые значения:
Mᵤ = 2463 мм² · 400 Н/мм² · 354 мм.
Вычислим сначала Aₛ · fᵧ:
2463 · 400 = 985200 Н.
Далее:
Mᵤ = 985200 Н · 354 мм = 348760800 Н·мм.
Переведём в кН·м (1 кН·м = 1∙10^6 Н·мм):
Mᵤ ≈ 348,76 кН·м.
─────────────────────────────
Дополнительные замечания
– При применении различных нормативных документов (например, СНиП, ПД 669 или ЕN 1992) окончательные формулы могут иметь уточняющие коэффициенты, зависящие от учета условий устойчивости, метода проверки деформаций и т.д. Здесь приведён классический подход расчёта предельного состояния для изгиба.
– Если бы вычисленный x получался слишком большим (например, превышал бы допустимый предел для обеспечения ductility), необходимо было бы применять дополнительные ограничения (например, требование x ≤ 0,45 · d) или проводить расчет по нелинейному поручню. В данном случае условие пластичности выполнено.
─────────────────────────────
Ответ
Итак, изгибающая несущая способность железобетонного элемента с заданными параметрами равна:
Mᵤ ≈ 349 кН·м.
Это значение можно получить по форме:
Mᵤ = Aₛ · fᵧ · (d – 0,5 · x),
где x = (Aₛ · fᵧ)⁄(0,85 · f₍ck₎ · b).
Таким образом, задача относится к дисциплине железобетонного конструирования (расчёт предельного состояния изгиба) и решается указанными выше методами.