Условие задачи
Интегральная кривизна поверхности. подобной сфере. тору- определяется теоремой Гаусса – Боне зависимой от характеристики Эйлера – Пуанкаре.
Для сферы она равна 2, для тора – 0, для многогранника – сумме вершин и граней за вычетом числа ребер. Если сфера распадается на две сферы, то характеристики Эйлера – Пуанкаре за счёт изменения кривизны сферы увеличиваются в два раза. При обрыве от сферы небольшого кусочка кривизны изменяется в области разрыва.
На сфере диаметром 6371 км – строительный участок площадью 109308 м2. Записать. в виде неравенства изменение средней кривизны.
Решение
Ниже приведён один из корректных вариантов решения задачи, основанный на применении теоремы Гаусса–Боне к гладкой замкнутой поверхности (сферообразной) и её вариациям при удалении небольшого участка поверхности.
─────────────────────────────
1. Основные факты
• Теорема Гаусса–Боне для замкнутой гладкой поверхности говорит, что интегральная (общая) кривизна равна 2π·χ, где χ – характеристика Эйлера–Пуанкаре. Для сферы χ = 2, откуда получаем
∬ K dA = 2π·2 = 4π.
• Если поверхность имеет постоянную (гауссову) кривизну K, то её средняя кривизна определяется как интеграл кривизны, поделённый на площадь поверхности:
K₍средн₎ = (∬ K dA)/A = (4π)/A.
• Для сферы площади A мы можем записать A = 4πR². В условии говорят, что «сфера диаметром 6371 км»; принято, что речь идёт об истинном земном шаре, для которого R = 6371000 м. (Заметим, что иногда указывают диаметр≈12742 км, но здесь принято, что 6371 км – именно радиус; такое иногда бывает в учебных задачах.)
─────────────────────────────
2. Влияние удаления небольшого участка
Пусть с оригинальной (замкнутой) поверхностью имеет площадь
A₀ = 4πR².
При удалении участка площадью ΔA, где по условию ΔA = 109308 м², получается новая поверхность (которая, вообще говоря, имеет границу). Если бы остаток поверхности сохранял всю «интегральную кривизну» без учёта краевых слагаемых, то в случае равномерного распределения кривизны значение K₍средн₎ сохранялось бы – ведь из суммы 4π вычли бы ровно ту же долю, что и площадь. Однако при наличии разрыва (обрыве) появляются дополнительные вклады через кривизну границы (геодезическую кривизну), и поэтому распределение кривизны в области разрыва изменяется.
Можно оценить, что если в удаляемом участке значение гауссовой кривизны было, в среднем, равным K₀ = (4π)/A₀, то удалённая интегральная кривизна будет равна примерно
ΔI ≈ K₀ · ΔA = (4π/A₀)·ΔA.
Тогда оставшаяся интегральная кривизна будет
I₍нов₎ = 4π – ΔI = 4π – (4π/A₀)·ΔA.
При этом новая площадь равна
A₍нов₎ = A₀ – ΔA.
Тогда новая средняя (гауссова) кривизна остального участка определяется соотношением
K₍нов₎ = I₍нов₎/A₍нов₎ = [4π – (4π/A₀)·ΔA]⁄(A₀ – ΔA).
Мы можем записать это соотношение в виде неравенства, так как в точности распределение кривизны в области разрыва может дать отклонение от равномерного варианта. Учтём два предельных случая:
1) Если разрыв приводит к максимальному «дополнительному» уменьшению интегральной кривизны (то есть удаляемый кусочек имеет больше кривизны, чем в среднем на сфере), то интегральная кривизна остатка будет меньше, чем 4π – ΔI. Тогда средняя кривизна уменьшится по сравнению с первоначальной величиной K₀ = 4π/A₀.
2) Если, наоборот, исчезают только те области, где кривизна ниже среднего, то оставшаяся поверхность будет иметь среднюю кривизну, большую K₀.
Таким образом можно установить оценку для новой средней кривизны K₍нов₎ остатка:
если бы удаление происходило так, что интегральная кривизна распределялась равномерно, то получали бы
K₍нов₎ = 4π⁄(A₀ – ΔA).
При равномерном распределении до удаления имеем
K₀ = 4π⁄A₀.
А поскольку A₀ – ΔA < A₀, то справедливо неравенство 4π⁄A₀ < 4π⁄(A₀ – ΔA). Иными словами, если удаляется участок с «средним» вкладом в интегральную кривизну, то новая средняя кривизна останется равной первоначальной. Если же удаляется участок с меньшей (или большей) кривизной, то новая средняя кривизна будет, соответственно, больше (или меньше) среднего значения, полученного при равномерном распределении. Таким образом можно записать итоговую оценку (неравенство) изменения средней кривизны следующим образом: если удаляемый участок имеет вклад не ниже среднего, то K₍нов₎ ≤ 4π⁄(A₀ – ΔA), а если вклад ниже среднего, то K₍нов₎ ≥ 4π⁄A₀. То есть итоговое неравенство можно записать в виде 4π⁄A₀ ≤ K₍нов₎ ≤ 4π⁄(A₀ – ΔA). ───────────────────────────── 3. Подставляем числовые значения Принимаем R = 6.371×10⁶ м (земной радиус), A₀ = 4πR², ΔA = 109308 м². Тогда K₀ = 4π⁄(4πR²) = 1⁄R². Таким образом, неравенство примет вид 1⁄R² ≤ K₍нов₎ ≤ 4π⁄(4πR² – 109308). Явно, поскольку 109308 м² ≪ A₀, разрыв (обрыв) даёт очень небольшое изменение – однако неравенство показывает, что при удалении участка средняя кривизна может измениться незначительно, но строго говоря остаётся ограниченной снизу значением 1⁄R² и сверху значением 4π⁄(4πR² – 109308). ───────────────────────────── 4. Итоговый ответ Ответ можно записать так: Обозначим A₀ = 4πR², где R = 6.371×10⁶ м. Тогда до удаления участка имеем K₀ = 4π⁄A₀, а после удаления участка ΔA = 109308 м² – согласно теореме Гаусса–Боне для поверхностей с краем – средняя (гауссова) кривизна K₍нов₎ удовлетворяет неравенству 4π⁄A₀ ≤ K₍нов₎ ≤ 4π⁄(A₀ – 109308). Это и есть искомое неравенство, отражающее изменение средней кривизны при обрыве небольшого кусочка с поверхности. ───────────────────────────── Замечание. Конечно, уточнённый ответ зависит от того, как именно трактовать «изменение кривизны» при наличии границы – в классическом виде теорема Гаусса–Боне для поверхности с краем имеет вид ∬ K dA + ∮ k₍геод⁾ ds = 2πχ, и вклад интеграла геодезической кривизны по краю может скорректировать итоговое значение. Но оценка, полученная выше, показывает, что если удаляемый участок имеет «среднюю» кривизну (то есть вклад в общий интеграл пропорционален его площади), то значение K₍нов₎ удовлетворяет 4π⁄(4πR²) ≤ K₍нов₎ ≤ 4π⁄(4πR² – 109308). Такой ответ вполне приемлем в рамках поставленной задачи. ───────────────────────────── Таким образом, решение задачи использует правила дифференциальной геометрии (теорему Гаусса–Боне) и приводит к неравенству для средней кривизны остатка сферы после удаления участка площадью 109308 м².