Условие задачи

Интенсивность отказов изделия (t)=at , 1/ч. Определить плотность распределения наработки до отказа.

Решение

Мы имеем задачу из области теории надежности (Reliability Engineering), где необходимо определить плотность распределения времени наработки до отказа изделия. Исходя из условий задачи, интенсивность отказов (hazard rate) задается функцией

  λ(t) = a · t (1/ч),

а функция надёжности R(t) (то есть вероятность безотказной работы до момента времени t) определяется через интеграл от λ(t) следующим соотношением

  R(t) = exp(–∫₀ᵗ λ(s) ds).

Подставим λ(s) = a · s:

  ∫₀ᵗ a · s ds = a·∫₀ᵗ s ds = a · (t²/2) = (a·t²)/2.

Таким образом, надёжность имеет вид

  R(t) = exp(–(a·t²)/2).

Следовательно, плотность распределения наработки до отказа f(t) находим по соотношению

  f(t) = λ(t) · R(t).

Подставляем λ(t):

  f(t) = a · t · exp(–(a·t²)/2).

Итак, окончательный ответ:

  f(t) = a · t · exp(–(a·t²)/2), для t ≥ 0.

Заметим, что найденное распределение известно как распределение Рэлея и широко применяется в задачах теории надежности.